Question

Calcular A) tg 105°
B) o valor de ( Sen 10° + cos 20°)2 (esse dois significa ao quadrado) é:

Answer 1

A: tg105° é o mesmo que tg(45°+60°)

Usando a fórmula da tangente do arco duplo, temos que:
tg(45+60)=tg45+tg60/1- (tg45*tg60)
tg(45+60) = 1 + √3/ 1 - (1*√3)
tg(45+60)=1+√3/1-√3
Para racionalizar, vamos multiplicar numerador e denominador por (1+√3)
tg(45+60)= (1+√3)²/(1-√3)(1+√3)
tg(45+60)= 1+2√3+3/1+√3-√3-3
tg(45+60)= 4+2√3/-2
tg(45+60)= tg105° = - 2 - √3

Answer 2

Temos que tentar escrever essas expressões, utilizando os ângulos notáveis (30°, 45°, 60°).

a) tg 105°

Podemos escrevê-lo como a soma: tg 45° + tg 60°. Sabemos que:

tg 45° = 1  e  tg 60° = √3

Logo:

tg 105° = 1 + √3

b) Na verdade, a expressão completa é essa:

(sen 10º + cos 20º)² + (sen 20º + cos 10º)²

Desenvolvendo os produtos notáveis, temos:

(sen² 10° + 2·sen 10°·cos 20° + cos² 20°) + (sen² 20° + 2·sen 20°·cos 10° + cos² 10°)

Agora, vamos reagrupar os termos da soma.

(sen² 10° + cos² 10°) + (sen² 20° + cos² 20°) + 2∙(sen 10°·cos 20° + sen 20°·cos 10°)

Sabemos que sen² θ + cos² θ = 1 e que sen(α + β) = sen α ∙ cos β + sen β ∙ cos α.

Logo, temos que:

(sen² 10° + cos² 10°) + (sen² 20° + cos² 20°) + 2∙(sen 10°·cos 20° + sen 20°·cos 10°) =

1 + 1 + 2·sen(10° + 20°)

2 + 2·sen 30°

2 + 2·1/2

2 + 1

3

Resposta: 3