Question

Calcular a soma dos 50 primeiros termos de uma PA, sabendo que a₆ + a₄₅ = 160.

Answer 1

Resposta: A soma $S_{50}$ dos $50$ primeiros termos da Progressão Aritmética $(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ ...\ a_{50})$, em que $a_{6}+a_{45}=160$, é $S_{50}=4000$.

Explicação passo-a-passo:

Antes de resolver o exercício, mostrarei uma propriedade importantíssima das Progressões Aritméticas (P.A.). Tal propriedade é bem fácil de se demonstrar, porém ainda sim é pouco conhecida. Antes de enunciarmos a propriedade, considere uma P.A. de $n$ ($n\ \in\ \mathbb{N^{*}}$) termos, dada por $(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ ...\ ,a_{n})$, sendo $n$ um número par ou ímpar ($n=2k-1;\ k\ \in\ \mathbb{N},\ k \geq 2$ ou $n=2k;\ k\ \in\ \mathbb{N},\ k\geq 2$). Tal propriedade afirma que a soma $S$ dos termos equidistantes dos extremos é constante e igual à soma dos termos extremos $a_{1}$ e $a_{n}$. Ou seja: $S=a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\ ...\ = a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n+2}{2}}$, para $n=2k$; ou $S=a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2}=\ ...\ = a_{\frac{n-1}{2}}+a_{\frac{n+3}{2}}$, para $n=2k-1$. Também é perceptível que a soma $S'$ dos índices inferiores dos termos equidistantes dos extremos é constante e igual à soma dos índices dos termos extremos $a_{1}$ e $a_{n}$, ou seja: $S'=n+1=2+(n-1)=3+(n-2)=\ ...\ =\frac{n}{2}+\frac{n+2}{2}=\frac{n-1}{2}+\frac{n+3}{2}$. Assim sendo, a soma $S_{50}$ dos $50$ primeiros termos da P.A. $(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\ ...\ a_{50})$, em que $a_{6}+a_{45}=160$, é dada por:

$S_{50}=\frac{50}{2}\cdot (a_{1}+a_{50})\ \ \ (i)$

Da propriedade enunciada acima, temos que $a_{1}+a_{50}=a_{2}+a_{49}=a_{3}+a_{48}=\ ...\ =a_{6}+a_{45}=\ ...\ =a_{25}+a_{26}=160$. Logo, para obtermos o valor de $a_{1}+a_{50}$, basta substituir em $(i)$ a soma $a_{1}+a_{50}$ por $a_{6}+a_{45}=160$. Substituindo, obtém-se:

$S_{50}=\frac{50}{2}\cdot (a_{1}+a_{50})$  ⇒

$S_{50}=25\cdot (a_{6}+a_{45})$  ⇒

$S_{50}=25\cdot (160)$  ⇒

$S_{50}=4000$

Abraços!