Matemática, perguntado por ewerjohn2, 4 meses atrás

Calcular a seguinte integral:

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor da nossa integral indefinida é $\sf \sqrt[n]{n x} + C$

Em nosso problema temos a seguinte integral indefinida:

$\displaystyle \sf \int \left(n x\right)^{\frac{1 - n}{ n}} d x$

O cálculo dessa integral parece muito complicado, então como essa integral é muito complicada devemos aplicar as diferentes propriedades que existem para integrais e potenciação, para poder calcular inicialmente nossa integral podemos aplicar a seguinte propriedade de potenciação:

$\bullet~~\sf (a \cdot b)^ m = a^m \cdot b^m~~\bullet$

Se aplicarmos esta propriedade na potenciação em nossa integral, devemos obter a equação:

$\displaystyle \sf \int n^{\frac{1- n}{n}} x^{\frac{1 - n}{ n}} d x$

Na análise desta integral podemos ver que estamos apenas integrando nossa função em relação à variável "x" e não à variável "n", então o que pode ser feito é enviar a variável "n" da nossa integral já que ela será considerado como uma constante, fazendo isso obtemos a expressão:

$\displaystyle \sf n^{\frac{1 - n}{n}} \int x^{\frac{1- n}{n}}d x$

Essa integral é um pouco mais fácil de resolver, então para calcular essa integral só podemos aplicar a regra da potência, essa regra está presente pela expressão:

$\displaystyle \sf~~\bullet \int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+ C~~\bullet$

Aplicando esta regra para encontrar a solução de nossa integral indefinida, podemos obter a equação:

$\displaystyle \sf (i)~~n^{\frac{1 - n}{n}} \dfrac{ x^{\frac{1 - n}{n}+1}}{\frac{1 - n}{n} + 1}+C\\\\ \sf (ii)~~ n^{\frac{1 - n}{n}} \dfrac{ x^{\frac{1- n }{n}+\frac{n}{n}}}{\frac{1 - n}{n} + \frac{n}{n}}+C\\\\ \displaystyle \sf (iii) ~~n^{\frac{1 - n}{n}}\dfrac{ x^{\frac{ 1 - \not n+ \not n}{n}}}{\frac{1 - \not n + \not n}{n}}+ C\\\ \displaystyle \sf (iv)~~n^{\frac{1- n}{n}} \underbrace{\sf \dfrac{x^{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}}} _{ nx {}^{ \sf\frac{1}{n} } } + C$

Para simplificar nossa expressão obtemos que o valor da integral é dado pela expressão:

$\displaystyle \sf n^{\frac{1 - n}{n}} n x^{\frac{ 1}{n}} + C~~\to~~ n^{ \frac{1- n}{n}+1} x^{\frac{1}{n}} + C\\\\ \displaystyle \sf n^{\frac{1}{n}} x^{\frac{1}{n}} +C~~\to~~ \sf \left(n x\right )^{\frac{1}{n}}+C$

Este seria o valor de nossa integral indefinida, mas pode ser simplificado ainda mais, para simplificar nossa integral podemos aplicar as leis dos radicais, uma dessas leis é:

$\bullet~~\sf x^{\frac{m}{n} }=\sqrt[n]{x^m}~~\bullet$