Question

Calcular a razão entre a área lateral e a área da base de um prisma regular hexagonal cujas dezoito arestas são todas congruentes

Answer 1

O prisma mencionado no exercício é formado por duas bases paralelas hexagonais e seis faces laterais quadrangulares, já que as arestas são congruentes. Assim, podemos comparar as áreas calculando cada uma delas separadamente. Suponha que a aresta do prisma mede x.

• Área Lateral

Todas as faces laterais são quadrados de lado do mesmo tamanho que a aresta, ou seja, x. Chamando de $A_q$ a área de um quadrado, $A_l$ a área lateral será:

$A_q = x^2\\A_l = 6x^2$

• Área da base

As bases são dois hexágonos, como eles são regulares podemos dividi-los em 6 triângulos equiláteros e assim usar a fórmula da área deste tipo de triângulo para encontrar a área do hexágono. Considere $A_t$ a área de um triângulo, $A_h$ a área do hexágono.

$A_t = \dfrac{x^2\sqrt3}{4}\\\\\\A_h = 6A_t = \dfrac{6x^2\sqrt3}{4}$

A razão será:

$\dfrac{A_t}{A_h} = \dfrac{6x^2}{\dfrac{6x^2\sqrt3}{4}} = \dfrac{4}{\sqrt3} = \dfrac{4\sqrt3}{3}$

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