Question

Calcular a integral x^2*cos(x)

Answer 1

Olá!

Temos:
∫x².cos(x)dx -> Aqui, vamos relembrar da regra do ILATE. Assim, escolhemos, como u, a função identidade, depois, logarítmica, depois algébrica, depois trigonométrica, e, finalmente, a exponencial. Logo, vamos escolher como u a função x². Temos:
u = x² -> Derivando os dois membros em relação à x:
du/dx = 2x => du = 2xdx  

Escolhendo dv:
dv = cos(x)dx -> Integrando os dois lados:
∫dv = ∫cos(x)dx -> Ficamos com:
v = sen(x) 

Aplicando na fórmula (Uma vaca vestida de uniforme) temos:
∫udv = u.v - ∫vdu -> Substituindo, vem:
∫x².cos(x)dx = x².sen(x) - ∫sen(x).2xdx -> Ainda podemos ficar com:
∫x².cos(x)dx = x².sen(x) - 2∫xsen(x)dx -> Agora, fazendo A = ∫xsen(x)dx, teremos:

A = ∫xsen(x)dx -> Aplicando udv novamente:
u = x => du/dx = 1 => du = dx
dv = sen(x)dx => v = -cos(x)

Logo:
A = ∫xsen(x)dx = -xcos(x) - ∫-cos(x)dx = -xcos(x)+∫cos(x)dx -> Logo:
A = ∫xsen(x)dx = -xcos(x)+sen(x)+k₁ 

Voltando na integral:
∫x².cos(x)dx = x².sen(x) - 2A -> Substituindo A:
∫x².cos(x)dx = x².sen(x) -2[-xcos(x)+sen(x)+k₁] -> Resolvendo:
∫x².cos(x)dx = x².sen(x) + 2xcos(x) - 2sen(x) -2k₁ 
∫x².cos(x)dx = x².sen(x) + 2xcos(x) - 2sen(x) + k -> Finalmente:
∫x².cos(x)dx = [x²-2]sen(x) + 2xcos(x) + k

Espero realmente ter ajudado! :)