Question

Calcular a integral: $\int \frac{\sin ^6\left(2x\right)}{\cos ^8\left(2x\right)}dx$


Resposta: $\frac{\tan^{7} (2x)}{14} + C$

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{\sin ^6\left(2x\right)}{\cos ^8\left(2x\right)}dx$

Primeiro vamos dar uma organizada na integral:

$\int \frac{ \sin {}^{6}(2x) }{ \cos {}^{6}(2x) } . \frac{1}{ \cos {}^{2} (2x)}dx$

Pela trigonometria, sabemos que:

$\tan {}^{n} (x) = \frac{ \sin^{n} (x)}{ \cos {}^{n}(x) } \: \: e \: \: \sec {}^{n} (x) = \frac{1}{ \cos {}^{n}(x) }$

Fazendo as devidas substituições na integral, teremos que:

$\int \tan {}^{6} (2x). \sec {}^{2} (2x)dx$

Observe que chegamos numa integral relativamente mais simples. Para resolver essa integral vamos usar o método da substituição de variável, já que possuímos a função y = tan⁶(2x) e a sua derivada g = sec²(2x)dx:

$u = \tan {}^{} (2x) \longrightarrow \frac{du}{dx} = \sec {}^{2} (2x).2 dx\\ \\ \boxed{ \frac{du}{2} = \sec {}^{2} (2x)}$

Fazendo as devidas substituições, temos:

$\int u {}^{6} . \frac{du}{2} \longrightarrow \frac{1}{2} \int u {}^{6}du$

Aplicando a regra da potência:

$\frac{1}{2} \int u {}^{6} du \longrightarrow \frac{1}{2} .\frac{u {}^{6 + 1} }{6 + 1} + c \longrightarrow \frac{1}{2} . \frac{u {}^{7} }{7} + c \\ \\ \frac{u {}^{7} }{14} + c,c \in \mathbb{R}$

Repondo a função que representa "u", temos:

$\boxed{ \int \frac{\sin ^6\left(2x\right)}{\cos ^8\left(2x\right)}dx = \frac{ \tan {}^{7}(2x) }{14} + c,c \in \mathbb{R}}$

Espero ter ajudado