Question

calcular a integral por substituição e elevado a X raiz 1+e elevado a X dx

Answer 1

$I=\displaystyle\int{e^{x}\sqrt{1+e^{x}}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\sqrt{1+e^{x}}\cdot e^{x}\,dx}$


Fazendo a seguinte mudança de variável,

$1+e^{x}=t\;\;\Rightarrow\;\;e^{x}\,dx=dt$


a integral fica

$I=\displaystyle\int{\sqrt{t}\,dt}\\ \\ \\ =\int{t^{1/2}\,dt}\\ \\ \\ =\dfrac{t^{1/2+1}}{\frac{1}{2}+1}+C\\ \\ \\ =\dfrac{t^{3/2}}{\frac{3}{2}}+C\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\,t^{3/2}+C\\ \\ \\ =\dfrac{2}{3}\,(1+e^{x})^{3/2}+C$