Question

Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int~\dfrac{1}{1-cos(x) + sen(x)}~\mathasf{dx}}}$

Resolução detalhada com os métodos utilizados.

Answer 1

Calcular a integral indefinida

     $\displaystyle\int\frac{1}{1-\cos x+\mathrm{sen\,}x}\,dx$


Para integrar esse tipo de função, fazemos uma substituição especial:

     $\begin{array}{lcl} u=\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}&\quad\Rightarrow\quad&\left\{ \begin{array}{l} x=2\,\mathrm{arctg\,}u\quad\Rightarrow\quad dx=\dfrac{2}{1+u^2}\,du\end{array} \right.\\\\ &&u=\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\\\\ &&u=\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\cdot \dfrac{2\cos\frac{x}{2}}{2\cos\frac{x}{2}}\\\\ &&u=\dfrac{2\,\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{(2\cos^2\frac{x}{2}-1)+1}\\\\ &&u=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\qquad\quad\checkmark \end{array}$


Essa última linha é uma forma alternativa de representar a nova variável  u.  Para expressar  sen x  e  cos x  em termos de  u,  usamos as identidades do arco duplo:

     $\mathrm{sen\,}x=2\,\mathrm{sen\,}\dfrac{x}{2}\cos\dfrac{x}{2}$


Colocando  cos² (x/2)  em evidência,

     $\mathrm{sen\,}x=\cos^2\dfrac{x}{2}\cdot \left(2\,\dfrac{\mathrm{sen\,}\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}\right)\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{\sec^2\frac{x}{2}}\cdot 2\,\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{2\,\mathrm{tg\,}\frac{x}{2}}{1+\mathrm{tg^2\,}\frac{x}{2}}\\\\\\ \mathrm{sen\,}x=\dfrac{2u}{1+u^2}\qquad\quad\checkmark$


De forma análoga, encontramos

     $\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}\qquad\quad\checkmark$


Substituindo, a integral fica

     $\displaystyle=\int\frac{1}{1-\frac{1-u^2}{1+u^2}+\frac{2u}{1+u^2}}\cdot \frac{2}{1+u^2}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{(1+u^2)-(1-u^2)+2u}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{1+u^2-1+u^2+2u}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{2u^2+2u}\,du\\\\\\ =\int\frac{2}{2(u^2+u)}\,du\\\\\\ =\int\frac{1}{u(u+1)}\,du$


Esta integral em  u  sai pelo método de frações parciais:

     $f(u)=\dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{A}{u}+\dfrac{B}{u+1}\\\\\\ f(u)=\dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{A(u+1)+Bu}{u(u+1)}\\\\\\ f(u)=\dfrac{1}{u(u+1)}=\dfrac{(A+B)u+A}{u(u+1)}$


Por identidade polinomial nos numeradores, encontramos o sistema

     $\left\{ \begin{array}{l} A+B=0\\\\ A=1 \end{array} \right.$


de onde encontramos os valores das constantes  A = 1  e  B = − 1.  Assim, a integral fica

     $\displaystyle=\int\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right)\,du\\\\\\ =\ln\left|u\right|-\ln\left|u+1\right|+C$


Volte para a variável  x  usando a relação

     $u=\mathrm{tg\,}\dfrac{x}{2}\quad\textrm{ ou }\quad u=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}$


e você obtém a resposta:

     $=\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\right|-\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}+1\right|+C\\\\\\ =\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{1+\cos x}\right|-\ln\left|\dfrac{\mathrm{sen\,}x+1+\cos x}{1+\cos x}\right|+C\\\\\\ =\left(\ln\left|\mathrm{sen\,}x\right|-\ln\left|1+\cos x\right|\right)-\left(\ln\left|\mathrm{sen\,}x+\cos x+1\right|-\ln\left|1+\cos x\right| \right )+C$

    $=\ln\left|\mathrm{sen\,}x\right|-\ln\left|\mathrm{sen\,}x+\cos x+1\right|+C$     <————    esta seria uma resposta.


Bons estudos! :-)

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \frac{1}{1-\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)}dx\\\\\\=\int \frac{1}{u\left(u+1\right)}du\\\\\\=\int \frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}du\\\\\\{Aplique\:a\:regra\:da\:soma}:\quad \int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx\\\\\\=\int \frac{1}{u}du-\int \frac{1}{u+1}du\\\\\\=ln \left|u\right|-ln \left|u+1\right|\\\\\\=ln \left|tan \left(\frac{x}{2}\right)\right|-ln \left|tan \left(\frac{x}{2}\right)+1\right|$

$\to \boxed{\sf=ln \left|tan \left(\frac{x}{2}\right)\right|-ln \left|tan \left(\frac{x}{2}\right)+1\right|+C }$