Question

Calcular a integral definida que expressa o volume do sólido gerado pela rotação da superfície limitada pela curva de equação y = x²+4x e pela reta de equação y = 2 quando a região gira em torno do eixo x.
Estou sem saber o que fazer porque o eixo onde a região vai girar divide a superfície a ser girada em duas partes. Quando ocorre o giro um volume vai ficar dentre do outro.

Answer 1

Resposta: V = $\pi\int\limits^0_ {-4}(x^{2}+4x)^{2} \, dx+2\pi[2^{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})-\int\limits^0_ {\sqrt{2}-2}(x^{2}+4x)^{2} \, dx -\int\limits^{\sqrt{6}-2}_0 {(x^{2}+4x)^{2} \, dx]$ u.v.

Explicação passo-a-passo:

Fofa, acho que encontrei uma maneira de resolver kkk. Realmente não sei se é a mais apropriada, mas admito que foi a única solução que encontrei. Não tenho muito o que dizer aqui sobre o problema, pois as imagens em anexo são capazes de explicar bem mais que qualquer palavra minha. Olhando para uma das imagens, percebe-se que o sólido de revolução gerado é a reunião de três sólidos de revolução, sendo dois laterais idênticos (perfeita simetria; volumes iguais) e o do meio obtido através da rotação da superfície limitada pela parábola f(x) = x² + 4x e pela reta y = 0, ambos em torno do eixo Ox (eixo das abscissas). Posto isto, a integral volumétrica V que fornece o volume do sólido pedido é a soma de três outras integrais, sendo duas de mesmo valor (dois sólidos laterais idênticos entre si). O volume V' do sólido central é facilmente obtido pela seguinte integral:

V' = $\pi\int\limits^0_ {-4}(x^{2}+4x)^{2} \, dx^{*}$

Cada sólido lateral é obtido a partir da rotação, em torno do eixo das abscissas, de um pseudotriângulo invertido,  que por sua vez encontram-se explícitos na figura anexada. É claramente perceptível que os falsos triângulos, juntamente ao sólido do centro, ajudam a formar uma pseudoestrela de seis pontas (vista frontal do sólido), devido ao fato de duas pontas serem na verdade arcos da parábola f(x) = x² + 4x. Após as marcações convenientes na imagem (anexo), temos que o volume de cada sólido lateral é o volume de um pequeno cilindro, subtraído de dois outros pequenos sólidos de revolução. Um destes sólidos é obtido através da rotação da região plana limitada pela curva y = x² + 4x, e pelas retas y = 0 e x =  $\sqrt{2}-2$. O segundo pequeno sólido é obtido pela rotação da superfície limitada sob f(x) = x² + 4x, e pelas retas x = 0 e x = $\sqrt{6} - 2$, ambos em torno de y = 0. O cilindro tem volume igual a $\pi2^{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$, pois o raio do círculo-base vale 2 u.c. e a altura é $(\sqrt{6}-2)-(\sqrt{2}-2)=\sqrt{6}-\sqrt{2}$ u.c. O volume de cada um dos sólidos situados na lateral são iguais, logo basta multiplicar o volume de um deles por 2 (dois). Assim sendo, o volume V pedido será igual a:

V = V' * + $2[\pi2^{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})-\pi\int\limits^0_ {\sqrt{2}-2}(x^{2}+4x)^{2} \, dx -\pi\int\limits^{\sqrt{6}-2}_0 {(x^{2}+4x)^{2} \, dx]$  ⇒

V = $\pi\int\limits^0_ {-4}(x^{2}+4x)^{2} \, dx+2[\pi2^{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})-\pi\int\limits^0_ {\sqrt{2}-2}(x^{2}+4x)^{2} \, dx -\pi\int\limits^{\sqrt{6}-2}_0 {(x^{2}+4x)^{2} \, dx]$  ⇒

V = $\pi\int\limits^0_ {-4}(x^{2}+4x)^{2} \, dx+2\pi[2^{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})-\int\limits^0_ {\sqrt{2}-2}(x^{2}+4x)^{2} \, dx -\int\limits^{\sqrt{6}-2}_0 {(x^{2}+4x)^{2} \, dx]$ u.v.

Rebequinha, mesmo sendo um pouco difícil, juro que tentei explicar o máximo possível. Eu omiti certos cálculos, tais como pontos de intersecção e suas respectivas distâncias, porém são todos passos triviais e com isso busquei focar no que realmente importa. Assim como prometido, além das imagens que fazem parte deste texto, existem outras duas referentes à antepenúltima questão que você postou.

Abraços!