Question

Calcular a equação da reta tangente à curva y=1/2x-3 no ponto de abscissa x0=3​

Answer 1

A equação reduzida da reta tangente à curva dada é:

$y = -\dfrac{2}{9} *x+1$

( gráfico em anexo )

Vou encontrar a equação da reta de uma função afim.

É do tipo:

y = mx + n

Onde m = declive  e  n = coeficiente linear

$f(x) = =\dfrac{1}{2x-3}$  

1 º - Calcular o ponto de tangência

Este ponto pertence simultaneamente à curva e à reta tangente.

Calculado f (3) fico a saber a coordenada em y do ponto T ( tangência )

$f(3) = \dfrac{1}{2*3-3}= \dfrac{1}{6-3}=\dfrac{1}{3}$

T ( 3 ; 1/3 )

2º Calcular o declive ( m ) da reta

Vamos calcular a derivada de f(x)

Regra de derivação de um quociente ( uma fração )

Sendo

$y = \dfrac{u(x)}{v(x)}$

$y'=\dfrac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{(v(x))^2}$

Cálculos auxiliares

$u'(x) =(1)'=0$

Derivada de uma constante é zero

$v'(x)=(2x-3)'$

A derivada de uma soma algébrica ( inclui adição e subtração ) é igual à

soma das derivadas.  

$v'(x)=(2x-3)' = (2x)'-(3)'=2-0=2$

Fim dos cálculos auxiliares

$y'=\dfrac{(1)'*(2x-3)-1*2}{(2x-3)^2}$

$y'=\dfrac{0*(2x-3)-2}{(2x-3)^2}=\dfrac{-2}{(2x-3)^2}$

Sendo x = 3

$y'=\dfrac{-2}{(2*3-3)^2}=\dfrac{-2}{(6-3)^2}= \dfrac{-2}{9}=-\dfrac{2}{9}$

$m=-\dfrac{2}{9}$

 

3º - Cálculo da reta tangente

O declive pode ser calculado também por outra fórmula.

Essa fórmula vai nos conduzir à Equação Reduzida da reta tangente

$m=\dfrac{y_{2} -y_{1} }{x_{2}-x_{1} }$

Onde ( x1 ; y1 ) são coordenadas de um ponto

E (x2 ; y2 ) coordenadas de outro ponto

Como só temos um ponto e o declive, assim fica

$-\dfrac{2}{9} =\dfrac{y -{\dfrac{1}{3} } }{x-3} }$

Aqui as coordenadas ( x ; y ) serão as coordenadas que nos levam a

todos os pontos da reta.

Produto cruzado

$-2*(x-3)=9*(y-\dfrac{1}{3} )$  

$-2x+6=9y-\dfrac{9}{3}$

Trocar os membros numa equação nãao precisa mudar sinais

$9y-3=-2x+6$

9y = - 2x + 6 + 3

9y = - 2x + 9

Dividindo tudo por 9

$\dfrac{9y}{9} = -\dfrac{2}{9} *x+ \dfrac{9}{9}$

$y = -\dfrac{2}{9} *x+1$

Bons estudos.  

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( * ) multiplicação       ( ' ) sinal de primeira derivada de uma função

( / ) divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.