calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2) B(1,5,1) e C (a,b,7)
Soluções para a tarefa
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Obtemos a reta que passa pelos pontos já conhecidos A(3,1,-2) e B(1,5,1), então calculamos o ponto C que pertence a mesma reta. Dessa forma os três pontos pertencerão à mesma reta (serão colineares):
A equação paramétrica da reta AB é:
x(t) = x1 + (x2 - x1)t
y(t) = y1 + (y2 - y1)t
z(t) = z1 + (z2 -z1)t
Resolvendo, teremos a equações:
x(t) = 3 + (1 - 3)t ⇒ x(t) = 3 - 2t
y(t) = 1 + (5 - 1)t ⇒ y(t) = 1 + 4t
z(t) = -2 + (1 - (-2))t ⇒ z(t) = -2 + 3t
Agora, para acharmos o ponto C(a,b,7), vamos obter o valor de t, quando z = 7:
z(t) = -2 + 3t ⇒ 7 = -2 +3t ⇒ 3t = 9 ⇒ t = 3
Substituímos o valor de t nas equações e achamos os valores de a e b para o ponto C:
x(t) = 3 - 2t ⇒ x(t) = 3 - 2.3 ⇒ x(t) = 3 - 6 = -3
y(t) = 1 + 4t ⇒ y(t) = 1 + 4.3 ⇒ y(t) = 1 + 12 = 13
Assim,
a = -3
b = 13
A equação paramétrica da reta AB é:
x(t) = x1 + (x2 - x1)t
y(t) = y1 + (y2 - y1)t
z(t) = z1 + (z2 -z1)t
Resolvendo, teremos a equações:
x(t) = 3 + (1 - 3)t ⇒ x(t) = 3 - 2t
y(t) = 1 + (5 - 1)t ⇒ y(t) = 1 + 4t
z(t) = -2 + (1 - (-2))t ⇒ z(t) = -2 + 3t
Agora, para acharmos o ponto C(a,b,7), vamos obter o valor de t, quando z = 7:
z(t) = -2 + 3t ⇒ 7 = -2 +3t ⇒ 3t = 9 ⇒ t = 3
Substituímos o valor de t nas equações e achamos os valores de a e b para o ponto C:
x(t) = 3 - 2t ⇒ x(t) = 3 - 2.3 ⇒ x(t) = 3 - 6 = -3
y(t) = 1 + 4t ⇒ y(t) = 1 + 4.3 ⇒ y(t) = 1 + 12 = 13
Assim,
a = -3
b = 13
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