Question

calcular a distância do ponto P(1,2,3) à reta

a)
r: X=1-2t
y=2t
z=2-t

b) a distancia do ponto P(1,2,3) a cada um dos eixos coordenados

Answer 1

a)

Equação paramétrica da reta:

r:

x=1-2t

y=2t

z=2-t ...t ∈ Reais

Equação vetorial da reta

(x,y,z)=(1,0,2) + t *(-2,2,-1) ...t ∈ Reais

V=(-2,2,-1) é o vetor diretor da reta

Q é um ponto qualquer da reta, fazendo

fazendo t=0 ==> Q=(1,0,2)

P=(1,2,3) é o ponto do texto

Encontrando o vetor QP=(1-1,2-0,3-2)=(0,2,1)

Produto vetorial V x QP

 x     y       z      x       y

 0     2      1      0       2

-2     2    -1      -2       2

det= -2x-2y-2x+4z =-4x-2y+4z ==>(-4,-2,4)

|V x QP| = √[(-4)²+(-2)²+4²] = √36=6

|V|= √[(-2)²+2²+(-1)²]= √(4+4+1)= √9=3

distância = |V x QP| / |V| =6/3=2

b)
vou fazer a distância entre o ponto P e o eixo x ...( o Método é o mesmo)

eixo x:

Equação vetorial da reta

(x,y,z) =(0,0,0) + t *(1,0,0)   ...t ∈ Reais

V=(1,0,0) é o vetor da reta

Q é um ponto qualquer da reta
fazendo t=0 ==> (0,0,0)

P=(1,2,3) é o ponto do texto

Encontrando o vetor QP=(1,2,3)

Produto vetorial V x QP

   x     y    z    x     y
   1     2    3   1     2
   1     0    0   1     0

det=3y-2z ==> (0,3,-2)

|V x QP| = √[(0)²+(3)²+(-2)²] = √13

|V|= √[(1)²+0²+0²]= 1

distância = |V x QP| / |V| =√13/1=√13

Answer 2

A distância do ponto P(1,2,3) à reta r é 2; A distância do ponto P(1,2,3) a cada um dos eixos coordenados: eixo x → √13, eixo y → √10, eixo z → √5.

a) Considere que Q é um ponto da reta r. Sendo assim, Q = (1 - 2t, 2t, 2 - t).

O vetor PQ tem que ser perpendicular ao vetor direção da reta.

Fazendo o vetor PQ, obtemos:

PQ = (1 - 2t, 2t, 2 - t) - (1,2,3)

PQ = (1 - 2t - 1, 2t - 2, 2 - t - 3)

PQ = (-2t, 2t - 2, -t - 1).

O vetor direção da reta r é u = (-2,2,-1). Calculando o produto interno entre PQ e u:

<PQ, u> = 0

(-2t).(-2) + (2t - 2).2 + (-t - 1).(-1) = 0

4t + 4t - 4 + t + 1 = 0

9t - 3 = 0

9t = 3

t = 1/3.

Portanto, o ponto Q é Q = (1/3, 2/3, 5/3).

Agora, basta calcular a distância entre P e Q:

d² = (1/3 - 1)² + (2/3 - 2)² + (5/3 - 3)²

d² = (-2/3)² + (-4/3)² + (-4/3)²

d² = 4/9 + 16/9 + 16/9

d² = 36/9

d² = 4

d = 2.

b) Distância entre P e o eixo x.

A reta que coincide com o eixo x é da forma: (0,0,0) + t(1,0,0) = (t,0,0).

Considere, então que Q = (t,0,0).

Fazendo o vetor PQ:

PQ = (t,0,0) - (1,2,3)

PQ = (t - 1, -2, -3).

Calculando o produto interno entre PQ e u = (1,0,0):

<PQ,u> = 0

(t - 1).1 + (-2).0 + (-3).0 = 0

t - 1 = 0

t = 1.

Logo, o ponto Q é (1,0,0).

A distância entre os pontos P e Q é:

d² = (1 - 1)² + (0 - 2)² + (0 - 3)²

d² = 4 + 9

d² = 13

d = √13.

Distância entre o ponto P e o eixo y.

A reta que coincide com o eixo y é r: (0,t,0). Sendo assim, Q = (0,t,0).

Calculando o vetor PQ:

PQ = (0,t,0) - (1,2,3)

PQ = (0 - 1, t - 2, 0 - 3)

PQ = (-1,t-2,-3).

Calculando o produto interno entre o vetor PQ e o vetor u = (0,1,0):

<PQ,u> = 0

(-1).0 + (t - 2).1 + (-3).0 = 0

t - 2 = 0

t = 2.

Logo, Q = (0,2,0).

A distância entre P e Q é igual a:

d² = (0 - 1)² + (2 - 2)² + (0 - 3)²

d² = 1 + 9

d² = 10

d = √10.

Distância entre P e o eixo z.

A reta que coincide com o eixo z é r: (0,0,t).

Vamos considerar que Q = (0,0,t).

Calculando o vetor PQ:

PQ = (0,0,t) - (1,2,3)

PQ = (0 - 1, 0 - 2, t - 3)

PQ = (-1,-2,t - 3).

Calculando o produto interno entre PQ e o vetor u = (0,0,1):

<PQ,u> = 0

(-1).0 + (-2).0 + (t - 3).1 = 0

t - 3 = 0

t = 3.

Portanto, Q = (0,0,3).

A distância entre o ponto P e o ponto Q é:

d² = (0 - 1)² + (0 - 2)² + (3 - 3)²

d² = 1 + 4

d² = 5

d = √5.

Para mais informações sobre distância: https://brainly.com.br/tarefa/19654596