Question

Calcular a distância do ponto D(2, 5, 2) ao plano determinado pelos pontos A(3, 0, 0); B(0, - 3, 0) e C(0, 0, 3)

Answer 1

Temos que determinar a equação do plano. 
Sabemos que a equação de um plano é dada por : 

ax + by + cz + d = 0 , onde (A , B, C) é um vetor 
perpendicular ao plano dado. 

Os vetores AB e AC pertencem ao plano dado , 
logo o vetor representado pelo produto vetorial 
AB . AC é perpendicular ao plano desejado. 

AB = B - A = ( -3 ,-3 , 0 ) 

AC = C - A = ( -3 , 0 , 3 ) 

Logo , AB x AC é o vetor formado pelo determinante onde : 

1ª linha --> | i.... j .... k | 
................|.................| 
2ª linha --> |-3...-3 .. 0 | 
................|.................| 
3ª linha --> |-3 .. 0 ....3 | 

Resolvendo esse determinante , encontramos : 

AB . AC = -9i + 9j - 9k = ( -9 , 9 , -9 ) 

Logo , a equação do seu plano será da forma : 

-9x + 9y - 9z + d = 0 

Substituindo um dos pontos que pertencem ao plano, 
por exemplo o ponto A, temos : 

-9.3 + 9.0 - 9.0 + d = 0 ---> d = 27 

Portanto , a equação do plano desejado é : 

-9x + 9y - 9z + 27 = 0 


dp é a distância do ponto 

dp=I x0 .xp + y0.yp + z0.zp + s | / √(x0² + y0² + z0²) 

(x0, y0,z0) =(-9,9,-9) 

(xp,yp,zp)=( 2,5,2) 

s=d=27 

dp=I (-9).2 + 9.5 + (-9).2 + 27 | / √((-9)² + 9² + (-9)²) 

dp=I -18 + 45 - 18 + 27 I / √243 
dp= 36 / 9.√3 = 4 / √3 = 4.√3 / 3DESPULCA A DEMORA

Answer 2

A distância do ponto D = (2,5,2) ao plano determinado pelos pontos A = (3,0,0), B = (0,-3,0) e C = (0,0,3) é $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Sendo A = (3,0,0), B = (0,-3,0) e C = (0,0,3), temos que os vetores AB e AC são iguais a:

AB = (0,-3,0) - (3,0,0)

AB = (0 - 3, -3 - 0, 0 - 0)

AB = (-3,-3,0)

e

AC = (0,0,3) - (3,0,0)

AC = (0 - 3, 0 - 0, 3 - 0)

AC = (-3,0,3).

Agora, vamos calcular o produto vetorial AB x AC. Para isso, precisamos calcular o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\-3&-3&0\\-3&0&3\end{array}\right]$. Então:

AB x AC = i((-3).3 - 0.0) - j((-3).3 - (-3).0) + k((-3).0 - (-3).(-3))

AB x AC = -9i + 9j - 9k

AB x AC = (-9,9,-9).

Logo, a equação do plano é da forma -9x + 9y - 9z = d.

Substituindo o ponto A = (3,0,0) nessa equação, obtemos:

-9.3 + 9.0 - 9.0 = d

d = -27.

Portanto, a equação cartesiana do plano é:

-9x + 9y - 9z = -27

-x + y - z = -3.

Vamos calcular a distância entre o plano -x + y - z = -3 e o ponto D = (2,5,2):

$d=\frac{|(-1).2+1.5+(-1).2 + 3|}{\sqrt{(-1)^2+1^2+(-1)^2}}$

$d = \frac{|4|}{\sqrt{3}}$

$d=\frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Exercício de plano: https://brainly.com.br/tarefa/18196418