Question

Calcular a distância de um ponto até um plano determinado por 3 pontos: A= (3,0,0) B= (0,-3,0) C= (0,0,3) e D= (2,5,2).

Answer 1

Temos que determinar a equação do plano. 

Sabemos que a equação de um plano é dada por : 

ax + by + cz + d = 0 , onde (A , B, C) é um vetor 

perpendicular ao plano dado. 

Os vetores AB e AC pertencem ao plano dado , 

logo o vetor representado pelo produto vetorial 

AB . AC é perpendicular ao plano desejado. 

AB = B - A = ( -3 ,-3 , 0 ) 

AC = C - A = ( -3 , 0 , 3 ) 

Logo , AB x AC é o vetor formado pelo determinante onde : 

1ª linha --> | i.... j .... k | 

................|.................| 

2ª linha --> |-3...-3 .. 0 | 

................|.................| 

3ª linha --> |-3 .. 0 ....3 | 

Resolvendo esse determinante , encontramos : 

AB . AC = -9i + 9j - 9k = ( -9 , 9 , -9 ) 

Logo , a equação do seu plano será da forma : 

-9x + 9y - 9z + d = 0 

Substituindo um dos pontos que pertencem ao plano, 

por exemplo o ponto A, temos : 

-9.3 + 9.0 - 9.0 + d = 0 ---> d = 27 

Portanto , a equação do plano desejado é : 

-9x + 9y - 9z + 27 = 0 

dp é a distância do ponto 

dp=I x0 .xp + y0.yp + z0.zp + s | / √(x0² + y0² + z0²) 

(x0, y0,z0) =(-9,9,-9) 

(xp,yp,zp)=( 2,5,2) 

s=d=27 

dp=I (-9).2 + 9.5 + (-9).2 + 27 | / √((-9)² + 9² + (-9)²) 

dp=I -18 + 45 - 18 + 27 I / √243 

dp= 36 / 9.√3 = 4 / √3 = 4.√3 / 3