Calcular a área total e o volume de um prisma regular hexagonal de altura 5 cm e aresta da base 3 cm.
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Olá.
Para resolver essa questão, devemos usar algumas fórmulas, que demonstro abaixo:
\begin{gathered}\mathsf{A_t=6A_l+2A_b}\\\\ \mathsf{V=A_b\cdot h}\\\\\\ \mathsf{A_b=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}}\\\\ \mathsf{A_l=a\cdot h}\end{gathered}
A
t
=6A
l
+2A
b
V=A
b
⋅h
A
b
=
2
3a
2
3
A
l
=a⋅h
Onde:
\begin{gathered}\begin{array}{rl} \mathsf{A_t:}&\mathsf{\acute{A}rea~total}\\\\ \mathsf{A_l:}&\mathsf{\acute{A}rea~lateral}\\\\ \mathsf{A_b:}&\mathsf{\acute{A}rea~da~base}\\\\ \mathsf{V:}&\mathsf{Volume}\\\\ \mathsf{h:}&\mathsf{Altura}\\\\ \mathsf{a:}&\mathsf{Aresta}\end{array}\end{gathered}
A
t
:
A
l
:
A
b
:
V:
h:
a:
A
ˊ
rea total
A
ˊ
rea lateral
A
ˊ
rea da base
Volume
Altura
Aresta
Para melhor experiência com essa questão, em anexo adicionei uma imagem que ilustra um prisma hexagonal (6 laterais e base com 6 lados), onde a Área da Base está em azul e as Áreas Laterais estão em roxo.
Inicialmente, calculo a área da base com a fórmula supracitada, que é a fórmula para a área do hexágono. Teremos:
\begin{gathered}\mathsf{A_b=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{A_b=\dfrac{3\cdot1^2\cdot\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{A_b=\dfrac{3\cdot1\cdot\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{A_b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}\end{gathered}
A
b
=
2
3a
2
3
A
b
=
2
3⋅1
2
⋅
3
A
b
=
2
3⋅1⋅
3
A
b
=
2
3
3
Tendo a área da base, podemos calcular o volume. Teremos:
\begin{gathered}\mathsf{V=A_b\cdot h}\\\\ \mathsf{V=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2,5}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{2,5\cdot3\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{7,5\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{V\approx\dfrac{7,5\cdot1,7}{2}=\dfrac{12,75}{2}=6,375cm^3}\end{gathered}
V=A
b
⋅h
V=
2
3
3
⋅2,5
V=
2
2,5⋅3
3
V=
2
7,5
3
V≈
2
7,5⋅1,7
=
2
12,75
=6,375cm
3
Adotei 1,7 como um valor aproximado para raiz de 3. Todo modo, fica livre a escolha da forma final, com ou sem valor aproximado.
Agora, falta apenas conhecer a área do prisma hexagonal. Para consegui-la, primeiro vamos calcular a área lateral. Teremos:
\begin{gathered}\mathsf{A_l=a\cdot h}\\\\ \mathsf{A_l=1\cdot2,5}\\\\ \mathsf{A_l=2,5cm^2}\end{gathered}
A
l
=a⋅h
A
l
=1⋅2,5
A
l
=2,5cm
2
A fórmula da área total que mostrei no início está contextualizada para o prisma hexagonal, pois a área de um prisma é igual a soma das áreas laterais com a soma das áreas da base. Vamos aos cálculos.
\begin{gathered}\mathsf{A_t=6A_l+2A_b}\\\\ \mathsf{A_t=6\cdot\left(2,5\right)+2\cdot\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_t=15+\diagup\!\!\!\!2\cdot\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{\diagup\!\!\!\!2}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_t=15+3\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{A_t\approx15+3\cdot1,7=15+5,1=20,1cm^3}\end{gathered}
A
t
=6A
l
+2A
b
A
t
=6⋅(2,5)+2⋅(
2
3
3
)
A
t
=15+╱2⋅(
╱2
3
3
)
A
t
=15+3
3
A
t
≈15+3⋅1,7=15+5,1=20,1cm
3
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos..