Question

Calcular a área formada entre as funções f(x) e g(x) definidas abaixo.
Recomendação é fazer o gráfico com as duas funções.
f(x)= x e g(x)= x²

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Observe no gráfico que o intervalo para o cálculo da área é x=0 e x=1.

A área (A):

$\displaystyle A= \int\limits^1_0 {(x-x^2)} \, dx =(\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3} )|_0^1=\frac{1^2}{2} -\frac{1^3}{3}-0=\frac{1}{2}-\frac{1}{3} =\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}\\\\A=\frac{1}{6} \approx0,1666...u.a.$

Answer 2

✅ Após ter resolvido os cálculos, concluímos que a área da região limitada pelas interseções dos gráficos das referidas funções é:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{A} = \int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx = \frac{1}{6}\,u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Como as opções estão dadas com três casas decimais, então o resultado é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B = 0,166\,u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam as funções:

                            $\Large\begin{cases}\tt f(x) = x\\\tt g(x) = x^{2}\end{cases}$

Para calcular a área da região limitada pelas interseções das curvas dos respectivos gráficos devemos:

• Encontrar o intervalo de integração das funções:

        Para isso, devemos fazer:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt f(x) = g(x)\end{gathered}$

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x = x^{2}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt x - x^{2} = 0\end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt -x^{2} + x = 0\end{gathered}$

        Chegamos à equação do segundo grau:

        Calcular o valor do delta:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \Delta = b^{2} - 4ac\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 1^{2} - 4\cdot(-1)\cdot0\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 1\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \therefore\:\:\:\Delta = 1\end{gathered}$

          Calcular as raízes:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \frac{-1\pm\sqrt{1}}{2\cdot(-1)}\end{gathered} }$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{-1\pm1}{-2}\end{gathered}$

           Obtendo as raízes temos:

              $\LARGE\begin{cases}\tt x' = \frac{-1 + 1}{-2} = \frac{0}{-2} = 0\\x'' = \frac{-1 - 1}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1\end{cases}$

           Portanto, o intervalo de integração "I" de ambas as funções é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I = \left[0,\,1\right]\end{gathered}$  

• Obter as interseções dos gráficos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I' = (x', f(x')) = (0, 0^{2}) = (0, 0)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt I'' = (x'', f(x'')) = (1, 1^{2}) = (1, 1)\end{gathered}$

• Calcular a área da região limitada pelas interseções das duas funções:

        Para isso devemos calcular a seguinte integral:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S_{A} = \int_{0}^{1} \left[(x) - (x^{2})\right]\,dx\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \int_{0}^{1} \left[x - x^{2}\right]\,dx\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \left[\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} - \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + c\right]\Bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} + c\right]\Bigg|_{0}^{1}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \left[\frac{1}{2}\cdot1^{2} - \frac{1}{3}\cdot1^{3} + c\right] - \left[\frac{1}{2}\cdot0^{2} - \frac{1}{3}\cdot0^{3} + c\right]\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + c -0 + 0 - c\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{3 - 2}{6}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{1}{6}\end{gathered}$

✅ Portanto, a área da região procurada é:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt S_{A} = \int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx = \frac{1}{6}\,u\cdot a\end{gathered}$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/13443083
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Solução gráfica (figura):