Question

Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [0, 1].

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre o cálculo de áreas e integrais.

Sejam duas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas e integráveis em um intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)\geq g(x)$. A área da região $R$ compreendida entre estas curvas neste intervalo é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R \,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^b f(x)-g(x)\,dx}$.

Então, devemos determinar a área da região compreendida entre as curvas $y=-x^2+4$ e $y=1$ no intervalo $[0,~1]$

Agora, determinamos qual função tem imagem maior neste intervalo. Facilmente, vemos que $-x^2+4>1$ neste intervalo.

Assim, a área da região compreendida entre estas curvas será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^1-x^2+4-1\,dx$

Some os valores

$\displaystyle{\int_0^1-x^2+3\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A potência $1=x^0,~x\neq0$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$.

• A integral definida de uma função $f(x)$ contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int -x^2\,dx+\int 3\,dx~\biggr|_0^1}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{-\int x^2\,dx+3\cdot\int 1\,dx~\biggr|_0^1}$

Aplique a regra da potência

$-\dfrac{x^{2+1}}{2+1}+3\cdot\dfrac{x^{0+1}}{0+1}~\biggr|_0^1$

Some os valores nos expoentes e denominadores

$-\dfrac{x^3}{3}+3\cdot\dfrac{x^1}{1}~\biggr|_0^1\\\\\\\ -\dfrac{x^3}{3}+3x~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$-\dfrac{1^3}{3}+3\cdot1-\left(-\dfrac{0^3}{3}+3\cdot0\right)$

Calcule as potências e multiplique os valores

$-\dfrac{1}{3}+3$

Some os valores

$\dfrac{8}{3}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região compreendida entre as curvas neste intervalo.