Question

Calcular a área do triângulo de vértices A=(4, 5, 6), B=(4, 4, 5) e C=(3, 5, 5).


a.
aproximadamente 0.9


b.
aproximadamente -0.9


c.
aproximadamente 1.7


d.
aproximadamente 0.5

Answer 1

A área do triângulo é aproximadamente 0,866 u². (Alternativa A).

• A área de um triângulo definido pelos pontos A, B e C no espaço tridimensional é obtida por:

$\large \text { \sf A = \dfrac {\big \vert \overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} \big \vert}{2} \qquad ou \qquad 2A = \big \vert \overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} \big \vert }$

• Determine os vetores $\large \sf \overrightarrow {\sf BA} ~e~ \overrightarrow {\sf BC}.$

$\large \overrightarrow {\sf BA} \sf =A-B = \big( (4-4)i, ~(5-4)j, ~(6-5)k \big)$

$\large \overrightarrow {\sf BA} \sf = (0i, ~1j, ~1k)$

$\large \overrightarrow {\sf BC} \sf =C-B = \big( (3-4)i, ~(5-4)j, ~(5-5)k \big)$

$\large \overrightarrow {\sf BC} \sf = (-1i, ~1 j, ~0k)$

• Determine o produto vetorial entre os vetores, usando determinante.

$\large \overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} = \sf det \left[ \begin{array}{ccc}i & j & k\\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right] = - j - (- k + i)$

$\large \overrightarrow {\sf BA} \times \overrightarrow {\sf BC} = \sf -i-j+k$

• Determine o módulo do vetor resultante.

$\large \Big \vert \overrightarrow {\sf BA} \times \overrightarrow {\sf BC} \Big \vert = \sf \sqrt {(-1)^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt 3$

• Substitua na fórmula para obter a área.

$\large 2A = \big \vert \overrightarrow {BA} \times \overrightarrow {BC} \big \vert$

$\large 2A = \sqrt 3$  ⟹ Divida ambos os membros por 2.

$\large A = \dfrac {\sqrt 3}{2}$

A ≈ 0,866 u²

A área do triângulo é aproximadamente 0,866 u². (Alternativa A).

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