Question

Calcular a área do triângulo de vértices A(1,2,3), B(-2,3,4) e
C(3,4,-2) e a altura relativa ao vértice C

Answer 1

Podemos calcular a área do triângulo ΔABC pela fórmula:

$S = \frac{|BA.BC|}{2}$

sendo BA.BC o produto vetorial entre os vetores BA e BC.

Como A = (1,2,3), B = (-2,3,4) e C = (3,4,-2), então:

BA = (3,-1,-1)
BC = (5,1,-6)

Então, o produto vetorial é:

               |i     j      k|
BA.BC = |3  -1    -1|
              |5    1    -6|

BA.BC = 7i + 13j + 8k = (7,13,8)

Calculando a norma de BA.BC:

$|BA.BC|= \sqrt{7^2+13^2+8^2}$
$|BA.BC|=\sqrt{282}$

Portanto, a área do triângulo ΔABC é:

$S= \frac{\sqrt{282}}{2}$

Para calcularmos a altura relativa ao vértice C, primeiramente vamos calcular a distância de A a B:

$d(A,B)= \sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}$
$d(A,B) = \sqrt{11}$

Portanto, a altura procurada é:

$\frac{\sqrt{282}}{2} = \frac{\sqrt{11}h}{2}$
$h= \frac{\sqrt{282}}{\sqrt{11}}$
h ≈ 5,06