Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v, sabendo que suas diagonais são u + v = (7, -4, 0) tal que -u + v = (-5, 4, -4).
Soluções para a tarefa
Primeiramente vamos somar os dois vetores que temos (u+v e -u+v) e ver o que acontece:
(u+v) + (-u+v) = (7,-4,0) + (-5,4,-4) = (2,0,-4)
Perceba que nós somamos u com -u, logo as quantidades de u nesse vetor que encontramos é zero. Por outro lado somamos v duas vezes, portanto o vetor que encontramos é 2v. Se dividirmos 2v por 2, encontraremos o vetor v:
2v = (2,0,-4)/2 => v = (1,0,-2)
Após encontrarmos o vetor v, substituímos o mesmo em qualquer dado que nos foi fornecido, usando o primeiro dado temos que se u+v = (7,-4,0), logo (ux, uy, uz) + (1,0,-2) = (7,-4,0)
A partir daí montamos um sistema simples de equações onde:
ux+1 = 7 => ux = 6
uy+0 = -4 => uy = -4
uz-2 = 0 => uz = 2
O vetor u é (6,-4,2)
A área do paralelogramo é dada por A=|uxv|
(Na foto) Fazendo uxv temos que o produto vetorial deles é (8,14,4).
(Na foto) Agora tiramos o módulo, sabendo que |uxv| = √(x)²+(y)²+(z)²
√8²+14²+4² = √276u.a.
