Question

calcular a area delimitada pelas curvas y= x2, y=2x e y=2x+8.

sei que a resposta da 100/3, mas nao consigo encontrar

Answer 1

A área delimitada pelas curvas y = x², y = 2x e y = 2x + 8 é 104/3.

Ao construirmos os gráficos das três curvas, podemos observar que a região pode ser dividida em três intervalos: -2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ x ≤ 2 e 2 ≤ x ≤ 4.

No intervalo -2 ≤ x ≤ 0, temos a seguinte integral:

$A_1=\int\limits^0_{-2} {2x+8-x^2} \, dx$

$A_1=x^2+8x-\frac{x^3}{3}$.

Substituindo os limites de integração, obtemos que:

A₁ = 28/3.

No intervalo 0 ≤ x ≤ 2, temos a seguinte integral:

$A_2=\int\limits^2_0 {2x+8-2x} \, dx$

A₂ = 8x.

Substituindo os limites de integração, obtemos que:

A₂ = 16.

No intervalo 2 ≤ x ≤ 4, temos a seguinte integral:

$A_3=\int\limits^4_2 {2x+8-x^2} \, dx$

$A_3=x^2+8x-\frac{x^3}{3}$.

Substituindo os limites de integração, obtemos:

A₃ = 28/3.

Portanto, a área da região é igual a:

A = 28/3 + 16 + 28/3

A = 56/3 + 16

A = 104/3.