Question

Calcular a área de destaque entre as curvas e assinale a alternativa correta:
a) 5/4 u.a
b) 4/3 u.a
c) 3/4 u.a
d) 7/3 u.a
e) 3/7 u.a

Answer 1

Primeiro vamos deixar a segunda funcao em termos de y:

$y^2=2x$
$y=\pm\sqrt{2x}$

Apenas a parte positiva nos interessa.

Agora achamos o ponto de intersecção entre as duas retas.

$\sqrt{2x}=\frac{x^2}{2}$

$2x=\frac{x^4}{4}$

$8x=x^4$

$x^4-8x=0$

$x(x^3-8)=0$

$x=0\ ou\ x^3=8$

$x=0\ ou\ x=2$

Temos nosso intervalo.

Agora tiramos a diferença das integrais:

$\int\limits^0_2 {\sqrt{2x}} \, dx - \int\limits^0_2 {\frac{x^2}{2}} \, dx$

$\frac{2x^\frac32}{3}\sqrt2 - \frac{x^3}{6}|^2_0$

$(\frac{2(2)^\frac32}{3}\sqrt2 - \frac{(2)^3}{6})$

$\frac83-\frac86$

$\boxed{\frac43}$