Question

calcular a area da região simultanamente limitada pelo grafico de: X = 2, Y = 0, e Y = ln (X)

Answer 1

O negócio está em encontrar o valor de $\int{lnx}dx$. Isso é o mesmo que $\int{1.lnx}dx$. Agora podemos usar a regra da cadeia, fazendo f(x) = lnx e g'(x) = 1.

$\int{f(x).g'(x)}dx = f(x).g(x) - \int{f'(x).g(x)}dx$
$\int{1.lnx}dx = x.lnx - \int{\frac{1}{x}.x}dx = x.lnx - \int{1}dx$

$\boxed{\int{lnx}dx = x(lnx - 1)}$

A área procurada está delimitada pelas curvas y=lnx, y=0 (o eixo x) e x=2. Quando se colocam essas três curvas no papel fica fácil ver que essa área é igual a $\int\limits^2_1{lnx}dx$. Daí temos:

$\int\limits^2_1{lnx}dx = 2(ln2 - 1) - 1(ln1 -1) = 2.ln2 - 2 + 1$

$\boxed{\boxed{\int\limits^2_1{lnx}dx = ln4 - 1}}$,
que é a área procurada.