Question

Calculando o valor de cos 20° - cos 80° + cos 140° encontra-se :

Answer 1

Calcular o valor da expressão

     cos 20° − cos 80° + cos 140°

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Identidades trigonométricas utilizadas:

     •   $\cos p-\cos q=-\,2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{p-q}{2}\right)$

     •   $\cos(\alpha+90^\circ)=-\,\mathrm{sen\,}\alpha$


Esta última pode ser obtida diretamente da fórmula do cosseno da soma de dois arcos:

     •   $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\mathrm{sen\,}\alpha\,\mathrm{sen\,}\beta$

com  $\beta=90^\circ\quad\Rightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l}\cos\beta=\cos 90^\circ=0\\\\ \mathrm{sen\,}\beta=\mathrm{sen\,}90^\circ=1\end{array}\right.$

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Aplicando as identidades, temos que

     $\cos 20^\circ-\cos 80^\circ+\cos 140^\circ\\\\\\ =-\,2\,\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{20^\circ-80^\circ}{2}\right)\mathrm{sen}\!\left(\dfrac{20^\circ+80^\circ}{2}\right)+\cos 140^\circ\\\\\\ =-\,2\,\mathrm{sen}(-30^\circ)\,\mathrm{sen\,}50^\circ+\cos 140^\circ\\\\\\ =-\,\diagup\!\!\!\! 2\cdot \left(-\,\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\!2}\right) \cdot\mathrm{sen\,}50^\circ+\cos 140^\circ\\\\\\ =\mathrm{sen\,}50^\circ+\cos 140^\circ$


Como  140° = 50° + 90°,  a expressão acima fica

     $=\mathrm{sen\,}50^\circ+\cos(50^\circ+90^\circ)\\\\ =\mathrm{sen\,}50^\circ+(-\mathrm{sen\,}50^\circ)\\\\ =\mathrm{sen\,}50^\circ-\mathrm{sen\,}50^\circ\\\\ =0$


     $\therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\cos 20^\circ-\cos 80^\circ+\cos 140^\circ=0 \end{array}}$


Bons estudos! :-)