Question

Calculando o limite lim x-->0 (X + 3)^3 -27/X encontramos:

A)3

B)1

C)-1

D)0

E)27

Answer 1

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que  e que corresponde alternativa correta a letra E.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 27 } }$

O limite dos valores $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$  para $\boldsymbol{ \textstyle \sf x }$ tendendo ao número $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$ é o número $\boldsymbol{ \textstyle \sf L }$ se, e somente se, os números reais da imagem $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$ permanecerem próximo de $\boldsymbol{ \textstyle \sf L }$, para os infinitos valores de $\boldsymbol{ \textstyle \sf x }$ próximo de $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$.

Indicamos que o limite de $\boldsymbol{ \textstyle \sf f(x) }$ para $\boldsymbol{ \textstyle \sf x }$ tendendo a $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$ é igual a $\boldsymbol{ \textstyle \sf L }$ por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to a} \: f(x) = L } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{(x+3)^3 - 27 }{x} } }$

Para resolvermos, primeiro devems aplicacar o produto notáveis.

O cubo da soma de dois termos é: (a + b)^3

"O cubo da soma de dois termos é dado pelo cubo do primeiro, mais três vezes o primeiro termo ao quadrado pelo segundo termo, mais três vezes o primeiro termo pelo segundo ao quadrado, mais o cubo do segundo termo".

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{(a+b)^3 = a^3 +3a^{2} b +3ab^{2} +b^{3} } }$

Com base na definição de produto notáveis, vamos resolver:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (x+3)^3 = x^{3}+ 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} +3^{3} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (x+3)^3 = x^{3}+ 9 x^{2} + 3 \cdot x \cdot 9 + 27 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ (x+3)^3 = \boldsymbol{ \displaystyle \sf x^{3}+ 9 x^{2} + 27 x+ 27 } } }$

Voltando a resolução do enunciado.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{(x+3)^3 - 27 }{x} = \dfrac{(x+3)^3 - 27 }{x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = \dfrac{ x^3 +9x^{2} +27x +27 - 27 }{x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = \dfrac{ x^3 +9x^{2} +27x +0 }{x} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = \dfrac{\diagup\!\!\!{ x }\cdot (x^2+9x +27) }{\diagup\!\!\!{ x}} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = x^{2} +9x +27 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 0^{2} +9 \cdot 0 +27 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 0 + 0 +27 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \lim_{x \to 0} \: \dfrac{ (x+3)^3- 27 }{x} = 27 }$

Alternativa correta a letra E.

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