Question

Calculando o fluxo do campo vetorial $F(x,y,z)= zi+xj+yk$ através da superfície do paraboloide hiperbólico $z=y^{2} -x^{2}$ cortada pelo cilindro $x^{2} +y^{2} =1$, com x>=0 e y>=0, orientada para cima, encontramos: (ps: só preciso da alternativa o calculo é opcional)

Answer 1

Explicação passo a passo:

Vamos Parametrizar a nossa superfície. Primeiro, vamos usar o cilindro para escolher o domínio de região parametrizada.

$x=r \cos(\theta) \\ y=r \sin(\theta)\\ z = y^{2}-x^{2}=r^{2}(\sin^{2} (\theta)-\cos^{2} (\theta)) =-r^{2} \cos(2\theta)$

Agora vamos obter um campo vetorial normal a nossa superfície,

$\gamma_{1}(\theta)=\left( x(\theta , r_{0}) , y(\theta , r_{0}) , z(\theta , r_{0}) \right) \\ \gamma_{2}(r)=\left( x(\theta_{0} , r) , y(\theta_{0} , r) , z(\theta_{0} , r) \right) \\ \\ \vec n = \frac{\partial }{\partial \theta} \gamma_{1} \times \frac{\partial }{\partial r} \gamma_{2} = \\ = \left( -r sin(\theta) , r \cos(\theta) , 2r^{2} \sin(2\theta) \right) \times \left( cos(\theta) , \sin(\theta) ,- 2r \cos(2\theta) \right) =$

$= \vec n =(-2 r^2 \cos(\theta) \cos(2 \theta) - 2 r^2 \sin(\theta) \sin(2 \theta), \\ -2 r^2 \cos(2\theta) \sin(\theta) + 2 r^2 \cos(\theta) \sin(2 \theta), -r \cos^2(\theta) - r \sin^2(\theta))$

Finalmente, o fluxo é

$\int\limits^1_0 \int\limits^{2\pi}_0 \left( F\left( x, y, z \right) \cdot \vec n \right) d\theta dr = \\ \\ =\int\limits^1_0 \int\limits^{2\pi}_0 \left( \left(-r^{2} \cos(2\theta), r \cos(\theta), r \sin(\theta) \right) \right) \cdot \vec n d\theta dr$

$\int\limits^1_0 \int\limits^{2\pi}_0 r\left(r\sin ^3\left(\theta \right)+r^2\sin \left(2\theta \right)+2r^3\cos \left(2\theta \right)\cos \left(\theta \right)\right) d\theta dr$

Cara, tá bem chato de fazer isso aqui e eu não quero continuar fazendo, então vou deixar isso aqui caso você ou outra pessoa queira terminar (espero que eu não tenha cometido nenhum erro até aqui.)

Faz o seguinte, integre isso com relação a r, que é bem fácil porque é uma função polinomial, depois jogue a integral que falta ( a de teta) no WolframAlpha. Assim, você consegue o resultado. Falou mano.