Question

Calculando congruência, demonstre que 3n^5 + 5n³ + 7n pode ser divisível por 15, para que todo n ≥ 1.

Answer 1

Olá Cesar.



Pelo teorema de Fermat temos que: 

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{a^p\equiv a~(mod~p)}}}$

Onde p é um número primo.

Sabendo disso e observando os expoentes do polinômio que são primos 3 e 5, isso me induz ao usar o teorema de Fermat para provar que o polinômio é múltiplo de 15.


$\mathsf{Pelo~teorema~de~Fermat:}\\\\\mathsf{5~|~n^5-n~\Longleftrightarrow~n^5-n=5k}\\\\\mathsf{3~|~3^n-n~\Longleftrightarrow~n^3-n= 3k'}$

Somando 3n - 3n e 5n - 5n, obtemos:

$\mathsf{3n^5+5n^3+7n}\\\\\mathsf{3n^5+3n-3n+5n^3+5n-5n+7n}\\\\\mathsf{3\cdot\underbrace{\mathsf{(n^5-n)}}+5\cdot\underbrace{\mathsf{(n^3-n)}}+7n+3n+5n}\\\mathsf{\qquad~5k\qquad~~\qquad 3k'}\\\\\mathsf{3\cdot5k+5\cdot3k'+15n}\\\\\mathsf{15k+15k'+15n}\\\\\boxed{\mathsf{15\cdot(k+k'+n)~}}~\checkmark}$

Portanto se n for maior que 1, o polinômio será divisível por 15.

Dúvidas? comente.