Question

Calculando a integral (x^2 + y^2) dR ao longo da curva ...

Answer 1

ATENÇÃO: Observe que esta não é uma integral de um campo vetorial (do tipo trabalho)

Queremos integrar a função $f(x,\,y)=x^2+y^2$ sobre a curva $R$ já parametrizada.


Encontrando o vetor tangente à curva:

(derivando as componentes de $R$ em relação a $t$ )

$R'(t)=(-\mathrm{sen\,}(t),\,\cos (t))$


Para esta integral, precisamos apenas do módulo (norma) do vetor tangente:

$\|R'(t)\|=\|(-\mathrm{sen\,}(t),\,\cos (t))\|\\\\ =\sqrt{(-\mathrm{sen}(t))^2+(\cos(t))^2}\\\\ =\sqrt{\mathrm{sen^2}(t)+\cos^2 (t)}\\\\ =\sqrt{1}=1\\\\\\ \therefore~~\|R'(t)\|=1\,~~~~\forall~t\in [0,\,2\pi]$

________________________

Calculando a integral de linha:

$\displaystyle\int_R(x^2+y^2)\,dR\\\\\\ =\int_0^{2\pi} (x^2(t)+y^2(t))\cdot \|R'(t)\|\,dt\\\\\\ =\int_0^{2\pi} (\cos^2(t)+\mathrm{sen^2\,}(t))\cdot 1\,dt\\\\\\ =\int_0^{2\pi}1\cdot 1\,dt\\\\\\ =\int_0^{2\pi}dt$

$=\displaystyle(t)|_0^{2\pi}\\\\ =2\pi-0\\\\ =2\pi$


Resposta: alternativa $\text{c. }2\pi.$