Question

Calcula o valor da integral de linha seguinte:
a) f(x,y,z)dr, com:
F(x,y,z)=xzi+(y+z)j+xk
C é a curva com representação parametrica seguinte:
x=e^t; y=e^2t e t€[0,1]

Answer 1

$\\ \displaystyle \oint\limits \textrm{ {F(r)}} \, \cdot \textrm{dr } = \displaystyle \oint\limits (\textrm{F_x \vec{i}} +\, F_y \vec{j}+F_z \vec{k)}}} \cdot (\textrm{d_x \vec{i} } + d_y \vec{j}} +d_z \vec{k}}) \\ \\ = \displaystyle \oint\limits ( F_x \cdot dx + F_y \cdot dy + F_z \cdot dz)$

$\\ \textbf{Calculando as derivadas:} \\ \\ \texrm{x} = e^t \\ \\ \displaystyle \frac{dx}{dt} = \displaystyle\frac{d(e^t)}{dt} \\ \\ dx = e^tdt \\ \\ y = e^{2t} \\ \\ \frac{dy}{dt} = \frac{d(e^{2t})}{dt} \\ \\ dy = 2e^tdt \\ \\ \textrm{z = 0} \\ \\ \textrm{dz = 0} \\ \\ \textbf{Substituindo "X" , "y" e z no campo} \\ \\ \texrm{ F(x, y , z) = x \cdot z \vec{i} + (y+z) \cdot \vec{j} +x \vec{k}}$

$\\ \textrm{F(r)} = e^t \cdot (0) \vec{i} + (e^{2t}+0) \vec{j}+e^t\vec{k} \\ \\ = 0 \vec{i} + e^{2t} \vec{j} +e^t \vec{k} \\ \\ \textbf{Portanto, substituindo na integral:} \\ \\ = \displaystyle \oint_{0}^{1} (0 \cdot e^tdt + e^{2t} \cdot 2e^{2t}dt +e^t \cdot 0 ) \\ \\ = \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{2t} \cdot 2e^{2t}dt ) \\ \\ = 2\cdot \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{2t} )^2 dt \\ \\ \textbf{Com "u" = 2t} \\ \\ u = 2t \\ \\ \frac{du}{dt} = 2 \\ \\ du = 2dt$

$\\ \therefore \\ \\ = 2 \cdot \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{2t} )^2dt = \displaystyle \oint_{0}^{1} ( e^{u} )^2du = \displaystyle \oint_{0}^{1} e^{u^2}du \\ \\ \textbf{Mudando o limite em "u"} \\ \\ u = 2t \\ \\ \textbf{Com t igual a zero:} \\ \\ u_o = 0 \\ \\ \textbf{Com t igual a 1:} \\ \\ u_1 = 2 \\ \\ \therefore \\ \\ = \displaystyle \oint_{0}^{2} e^{u^2}du \\ \\ \textbf{Essa integral nao possui uma primitiva, } \\ \textbf{Calcula-se pela soma de rieman!}$

$\\ \textbf{Com "n" = 10, quanto maior o valor de "n",} \\ \\ \textbf{Mais preciso e o resultado final!} \\ \\ x_1 = a + \Delta x \\ \\ x_2 = a + 2 \cdot \Delta x \\ \\ x_3 = a + 3 \cdot \Delta x \\ \\ \vdots \\ \\ x_{10} = a + 10 \cdot \Delta x \\ \\ \textbf{Com:} \\ \\ \Delta x = \displaystyle \frac{b - a}{n} = \frac{2 -0}{10} = 0,2 \\ \\ \therefore \\ \\ \displaystyle \oint_{0}^{2} ( e^{u} )^2du = \Delta x \cdot( f(x_1) +f(x_2)+f(x_3)+\cdots + f(x_{10}))$

$\\ \cong 0, 2\cdot ( f(\Delta x) + f(2 \cdot \Delta x) + f(3 \cdot \Delta) + \cdots + f(10 \cdot \Delta x)) \\ \\ \cong 0,2 \cdot ( e^{(0,2)^2} +e^{(0,4)^2}+e^{(0,6)^2}+e^{(0,8)^2}+e^{(1)^2}+e^{(1,2)^2}+e^{(1,4)^2}+ \\ \\ e^{(1,6)^2}+ e^{(1,8)^2}+e^{(2)^2} \\ \\ \cong 0,2 \cdot ( 112,6501257) \\ \\ \cong \boxed{22,53}$