Question

calcula a integral .. ∫√ײ+1/x²

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+arcsinh~ x+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos a seguinte integral, utilizaremos a técnica de integração por partes.

Seja a integral: $\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x^2}}\,dx$

Lembre-se da fórmula da integração por partes: $\displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du$.

Dessa forma, devemos escolher quem será o $u$ e quem será o $dv$. Para a escolha do $u$, temos o critério LIATE, que consiste em uma ordem de prioridade para as funções: Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de $x$), Trigonométricas e Exponenciais.

Como se tratam essencialmente do mesmo problema, escolheremos $u=\sqrt{x^2+1}$ e $dv=\dfrac{1}{x^2}\,dx$.

Assim, diferenciamos a expressão em $u$ para encontrarmos o diferencial $du$ e integramos a expressão em $dv$ para encontrarmos $v$:

$u'=(\sqrt{x^2+1})'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é dada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Reescrevendo $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{\frac{1}{2}}$, aplicamos a regra da potência e da cadeia:

$du=(x^2+1)'\cdot \dfrac{1}{2}\cdot(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\,dx$

Aplique a regra da soma e some os valores no expoente

$du=((x^2)'+(1)')\cdot \dfrac{1}{2}\cdot(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\,dx$

Aplique a regra da potência e da constante

$du=2x\cdot \dfrac{1}{2}\cdot(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}\,dx$

Multiplique os valores, reescrevendo $(x^2+1)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$du=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$

Então, integramos $dv$

$\displaystyle{\int dv=\int \dfrac{1}{x^2}}\,dx$

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é dada por:$\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

Assim, reescrevendo $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$, teremos

$\displaystyle{\int dv=\int x^{-2}}\,dx}\\\\\\\\ v=\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}}$

Some os valores

$v=\dfrac{x^{-1}}{-1}}$

Reescreva a fração

$v=-\dfrac{1}{x}$

Substituindo estes valores na fórmula de integral por partes, temos:

$\displaystyle{\sqrt{x^2+1}\cdot \left(-\dfrac{1}{x}\right)-\int -\dfrac{1}{x}\cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$

Multiplique os valores

$\displaystyle{-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx$

Para resolver esta integral, faça uma substituição $x=\sinh\theta$. Diferenciamos ambos os lados:

$dx=\cosh\theta\,d\theta$

Substituindo estes valores, teremos

$\displaystyle{-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\int \dfrac{1}{\sqrt{(\sinh\theta)^2+1}}\cdot\cosh\theta\,d\theta}$

Sabendo que $\cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$, teremos

$\displaystyle{-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\int \dfrac{1}{\sqrt{\cosh^2\theta}}\cdot\cosh\theta\,d\theta}$

Calcule a raiz e multiplique os valores

$\displaystyle{-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\int \dfrac{1}{\cosh\theta}\cdot\cosh\theta\,d\theta}\\\\\\\\ \displaystyle{-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\int\,d\theta}$

Calculando a integral pela regra da potência, teremos

$-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\theta$

Reescrevendo $\theta=\bold{arcsinh~x}$, teremos

$-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\bold{arcsinh~ x}$

Adicione a constante de integração

$-\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}+\bold{arcsinh~ x}+C,~C\in\mathbb{R}$