Question

Calcula a área e o volume de um prisma regular hexagonal cuja aresta da base mede 1 cm e a altura é 2,5 cm

Answer 1

Olá.

 

Para resolver essa questão, devemos usar algumas fórmulas, que demonstro abaixo:

 

$\mathsf{A_t=6A_l+2A_b}\\\\ \mathsf{V=A_b\cdot h}\\\\\\ \mathsf{A_b=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}}\\\\ \mathsf{A_l=a\cdot h}$

 

Onde:

 

     $\begin{array}{rl} \mathsf{A_t:}&\mathsf{\acute{A}rea~total}\\\\ \mathsf{A_l:}&\mathsf{\acute{A}rea~lateral}\\\\ \mathsf{A_b:}&\mathsf{\acute{A}rea~da~base}\\\\ \mathsf{V:}&\mathsf{Volume}\\\\ \mathsf{h:}&\mathsf{Altura}\\\\ \mathsf{a:}&\mathsf{Aresta}\end{array}$

 

Para melhor experiência com essa questão, em anexo adicionei uma imagem que ilustra um prisma hexagonal (6 laterais e base com 6 lados), onde a Área da Base está em azul e as Áreas Laterais estão em roxo.

 

Inicialmente, calculo a área da base com a fórmula supracitada, que é a fórmula para a área do hexágono. Teremos:

 

$\mathsf{A_b=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{A_b=\dfrac{3\cdot1^2\cdot\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{A_b=\dfrac{3\cdot1\cdot\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\mathsf{A_b=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}$

 

     Tendo a área da base, podemos calcular o volume. Teremos:

 

$\mathsf{V=A_b\cdot h}\\\\ \mathsf{V=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2,5}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{2,5\cdot3\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{7,5\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{V\approx\dfrac{7,5\cdot1,7}{2}=\dfrac{12,75}{2}=6,375cm^3}$

 

Adotei 1,7 como um valor aproximado para raiz de 3. Todo modo, fica livre a escolha da forma final, com ou sem valor aproximado.

 

     Agora, falta apenas conhecer a área do prisma hexagonal. Para consegui-la, primeiro vamos calcular a área lateral. Teremos:

 

$\mathsf{A_l=a\cdot h}\\\\ \mathsf{A_l=1\cdot2,5}\\\\ \mathsf{A_l=2,5cm^2}$

 

A fórmula da área total que mostrei no início está contextualizada para o prisma hexagonal, pois a área de um prisma é igual a soma das áreas laterais com a soma das áreas da base. Vamos aos cálculos.

 

$\mathsf{A_t=6A_l+2A_b}\\\\ \mathsf{A_t=6\cdot\left(2,5\right)+2\cdot\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_t=15+\diagup\!\!\!\!2\cdot\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{\diagup\!\!\!\!2}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_t=15+3\sqrt{3}}\\\\ \mathsf{A_t\approx15+3\cdot1,7=15+5,1=20,1cm^3}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$