Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição.
Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar é?? Explica!
a)230
b)225
c)215
d)220
e)210
Soluções para a tarefa
Primeiro, precisamos encontrar o número total de formas de serem escolhidas 3 pessoas dentre 12. Perceba que a ordem não importa, pois escolher as pessoas 1,2 e 3 é a mesma coisa que escolher as pessoas 3,2 e 1. Assim, trata-se de um problema de combinação.
Vamos combinar 12 pessoas tomadas 3 a 3. Aplicando a fórmula de combinação simples para esse caso, temos:
C₁₂,₃ = 12! /[3!(12-3)!]
C₁₂,₃ = 12!/(3!9!)
C₁₂,₃ = (12*11*10*9!)/(3!9!)
C₁₂,₃ = (12*11*10)/3!
C₁₂,₃ = (12*11*10)/6
C₁₂,₃ = 220
Encontramos que há 220 grupos possíveis de 3 pessoas distintas que podem ser formadas no total.
Agora precisamos descobrir quais são os casos possíveis de termos grupos de 3 números consecutivos.
Os grupos possíveis com números consecutivos são:
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
9 10 11
10 11 12
São, portanto, 10 grupos onde há três numerações consecutivas.
Mas você pode perguntar?
Mas o grupo 1 2 3 poderia ser 2 3 1 ou 3 2 1 ?
NÃO! A ordem não importa.
O grupo 1 2 3 = 3 2 1 = 2 1 3 etc...
Para descobrir o número de casos em que não tenhamos grupos com números consecutivos, basta subtrair o número total de casos da quantidade de grupos em que aparecem três números consecutivos:
220 - 10 = 210
Primeiro, precisamos encontrar o número total de formas de serem escolhidas 3 pessoas dentre 12. Perceba que a ordem não importa, pois escolher as pessoas 1,2 e 3 é a mesma coisa que escolher as pessoas 3,2 e 1. Assim, trata-se de um problema de combinação.
Vamos combinar 12 pessoas tomadas 3 a 3. Aplicando a fórmula de combinação simples para esse caso, temos:
C₁₂,₃ = 12! /[3!(12-3)!]
C₁₂,₃ = 12!/(3!9!)
C₁₂,₃ = (12*11*10*9!)/(3!9!)
C₁₂,₃ = (12*11*10)/3!
C₁₂,₃ = (12*11*10)/6
C₁₂,₃ = 220
Encontramos que há 220 grupos possíveis de 3 pessoas distintas que podem ser formadas no total.
Agora precisamos descobrir quais são os casos possíveis de termos grupos de 3 números consecutivos.
Os grupos possíveis com números consecutivos são:
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10
9 10 11
10 11 12
São, portanto, 10 grupos onde há três numerações consecutivas.
Mas você pode perguntar?
Mas o grupo 1 2 3 poderia ser 2 3 1 ou 3 2 1 ?
NÃO! A ordem não importa.
O grupo 1 2 3 = 3 2 1 = 2 1 3 etc...
Para descobrir o número de casos em que não tenhamos grupos com números consecutivos, basta subtrair o número total de casos da quantidade de grupos em que aparecem três números consecutivos:
220 - 10 = 210