Question

Cada um dos três vetores a, b e c possui um módulo igual a 50 m e pertence ao plano xy. Suas direções relativas ao sentido positivo do eixo x são 30°,
195° e 315°, respectivamente. (c) o módulo e (d) o ângulo de a - b + c?

Answer 1

O enunciado nos fornece o seguinte:


• Os três vetores tem o mesmo módulo:

$\|\overrightarrow{\mathbf{a}}\|=\|\overrightarrow{\mathbf{b}}\|=\|\overrightarrow{\mathbf{c}}\|=50$


• Os ângulos que eles formam com o eixo $x$ são respectivamente 30º, 195° e 315°.

(medidos a partir do eixo x positivo até a direção do vetor, no sentido anti-horário)

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Vamos encontrar a forma cartesiana de cada vetor.

$\bullet\;\;\overrightarrow{\mathbf{a}}=a_x \overrightarrow{\mathbf{i}}+a_y\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{a}}=\big(\|\overrightarrow{\mathbf{a}}\|\cos 30^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(\|\overrightarrow{\mathbf{a}}\|\,\mathrm{sen\,}30^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{a}}=\big(50\cos 30^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\,\mathrm{sen\,}30^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{a}}=\big(50\cdot 0,\!866\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\cdot 0,\!5\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{a}}=43,\!3 \overrightarrow{\mathbf{i}}+25\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


$\bullet\;\;\overrightarrow{\mathbf{b}}=b_x \overrightarrow{\mathbf{i}}+b_y \overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\\overrightarrow{\mathbf{b}}=\big(\|\overrightarrow{\mathbf{b}}\|\cos 195^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(\|\overrightarrow{\mathbf{b}}\|\,\mathrm{sen\,}195^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{b}}=\big(50\cos 195^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\,\mathrm{sen\,}195^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{b}}=\big(50\cdot (-0,\!966)\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\cdot(-0,\!259)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{b}}=-48,\!3 \overrightarrow{\mathbf{i}}-12,\!9\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


$\bullet\;\;\overrightarrow{\mathbf{c}}=c_x \overrightarrow{\mathbf{i}}+c_y \overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{c}}=\big(\|\overrightarrow{\mathbf{c}}\|\cos 315^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(\|\overrightarrow{\mathbf{c}}\|\,\mathrm{sen\,}315^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{c}}=\big(50\cos 315^\circ\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\,\mathrm{sen\,}315^\circ \big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{c}}=\big(50\cdot 0,\!707\big) \overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(50\cdot(-0,\!707)\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{c}}=35,\!4\overrightarrow{\mathbf{i}}-35,\!4\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$

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Vetor pedido para as letras (c) e (d):

$\overrightarrow{\mathbf{a}}-\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\\\\ =(a_x-b_x+c_x)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(a_y-b_y+c_y)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ =\big(43,\!3-(-48,\!3)+35,\!4\big)\overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(25-(-12,\!9)-35,\!4\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ =\big(43,\!3+48,\!3+35,\!4\big)\overrightarrow{\mathbf{i}}+\big(25+12,\!9-35,\!4\big)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ =127,\!0\overrightarrow{\mathbf{i}}+2,\!5\overrightarrow{\mathbf{j}}$


(c) O módulo:

$\|\overrightarrow{\mathbf{a}}-\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\|\\\\ =\|127,\!0\overrightarrow{\mathbf{i}}+2,\!5\overrightarrow{\mathbf{j}}\|\\\\ =\sqrt{(127,\!0)^2+(2,\!5)^2}\\\\ =\sqrt{16129+6,\!25}\\\\ =\sqrt{16135,\!25}\approx 127,02$


(d) Encontrando o ângulo $\theta:$

(ângulo medido do eixo x positivo até a direção do vetor, no sentido anti-horário)

Como as componentes horizontal e vertical são positivas, percebemos que $\theta$ é um ângulo do 1º quadrante.

$\cos \theta=\dfrac{a_x-b_x+c_x}{\|\overrightarrow{\mathbf{a}}-\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\|}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{127,\!0}{127,\!02}\approx 0,9999\\\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{a_y-b_y+c_y}{\|\overrightarrow{\mathbf{a}}-\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\|}\\\\\\ \mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{2,\!5}{127,\!02}\approx 0,\!02$


$\theta$ é um ângulo bem pequeno, mas positivo:

$\theta\approx \mathrm{arcsen}(0,\!02)\approx\boxed{\begin{array}{c} 1,\!1^\circ \end{array}}$


Bons estudos! :-)