Cada termo da PÁ crescente (x,y,6) é a medida em centímetros do lado de um triângulo retângulo. Qual a medida do menor cateto desse triângulo?
Soluções para a tarefa
A medida do menor cateto desse triângulo é 3,6.
Se a progressão aritmética (x,y,6) é crescente e cada termo corresponde às medidas dos lados do triângulo retângulo, então podemos afirmar que os catetos medem x e y e a hipotenusa mede 6.
Do Teorema de Pitágoras, temos que:
6² = x² + y²
x² + y² = 36.
O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n - 1).r.
Sendo assim:
a₁ = x
y = x + (2 - 1).r = x + r
6 = x + (3 - 1).r = x + 2r.
Da terceira equação, podemos dizer que:
6 = x + 2r
x = 6 - 2r.
Assim, a progressão aritmética é igual a (6 - 2r, 6 - 2r + r, 6) = (6 - 2r, 6 - r, 6).
Substituindo os valores de x e y na equação x² + y² = 36:
(6 - 2r)² + (6 - r)² = 36
36 - 24r + 4r² + 36 - 12r + r² = 36
5r² - 36r + 72 - 36 = 0
5r² - 36r + 36 = 0.
As soluções da equação do segundo grau acima são 6/5 e 6.
Se r = 6/5, então a P.A. é (18/5, 24/5, 6).
Se r = 6, então a P.A. é (-6, 0, 6).
Como os termos são medidas, então a progressão correta é (18/5, 24/5, 6) e o menor cateto mede 18/5 = 3,6.