Question

Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 cm/s. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a área do quadrado for 16 cm²?

Answer 1

Considere as informações dadas:

$\displaystyle \frac{dl}{dt} = 6 \, cm/s \\ \\ \\ \frac{dA}{dt}=? \, \, \, \, \, \, em \, \, \, \, \, \, A=16 \, cm^{2}$

Vamos derivar cada termo da fórmula da área do quadrado adotando as notações adequadas:

$\displaystyle A=l^{2} \\ \\ \\ \frac{dA}{dt} = 2l \, \frac{dl}{dt}$

Perceba que se A = 16 cm², então l é igual a:

$A=l^{2} \\ \\ 16=l^{2} \\ \\ l=\sqrt{16} \\ \\ l = 4 \, cm$

Então temos:

$\displaystyle \frac{dA}{dt} = 2l \, \frac{dl}{dt} \\ \\ \\ \frac{dA}{dt} = 2 \cdot 4 \cdot 6 \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\frac{dA}{dt}=48 \, cm^{2}/s}}$

Answer 2

cada lado do quadrado está crescendo a uma taxa de 6cm/s

então

dl/dt =6cm/s em que l representa o lado do quadrado.

a equaçao que relaciona a área com o lado do quadrado é

A=l²

derivando em relação ao tempo temos

dA/dt = 2l dl/dt

falta descobrir quanto vale l.

o problema nos diz que  A=16cm²

daí

l²=16

l=√16

l=4cm

substituindo temos

dA/dt = 2.4.6

dA/dt = 48cm²/s

resposta:  a área estará crescendo a uma taxa de 48cm²/s