Question

Cacule a integral da linha

Answer 1

Coloco em anexo o passo-a-passo da resolução desse problema, usando o que foi apresentado nos dados desse questão.

Answer 2

Desejamos calcular a integral de linha dada por $\large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \end{gathered}$. Onde o C é dado pela seguinte circunferência: $\large\displaystyle\begin{gathered} x^2+y^2=1\end{gathered}$.

Vamos por partes. ... sabemos que a metade da circunferência é de 0 até pi, provamos isso dando uma olhadinha básica no circulo trigonométrico. Logo C será dado pelo intervalo [ 0 ; π ].

Agora vamos a obra, sabemos que o raio dessa circunferência é igual a um. Vamos então parametrizar essa circunferência, lembrando que a parametrização de uma circunferência reduzida é dada pelo raio vezes o cost e o sent, logo:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}r(t): \begin{cases} x\rightarrow \cos t\\ y\rightarrow \sin t\end{cases}\Rightarrow r'(t): \begin{cases} x\rightarrow -\sin t\\ y\rightarrow \cos t\end{cases}\end{gathered}$

Lembrando que

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \int _0^{\pi} (1+xy) ||r'(t)||dt\end{gathered}$

Encontrando a norma ( módulo ) de R'(t), que será dada por: $\large\displaystyle\begin{gathered} ||R'(t)||=\sqrt{ (- \sin t )^2+(\cos t)^2}\end{gathered}$. E já sabemos que essa é a relação fundamental da trigonometria $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\underline{\underline{\cos ^2x +\sin^2 x=1}}\end{gathered} }$. Temos então que ||R'(t)|| é igual a:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} ||R'(t)||=\sqrt{ (- \sin t )^2+(\cos t)^2}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} ||R'(t)||=\sqrt{ \sin^2 t +\cos ^2t}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} ||R'(t)||=\sqrt{ 1}\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore ||R'(t)||= 1\end{gathered}$

Substituindo e calculando a integral que resultou essa brincadeira, temos

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \int _0^{\pi} (1+\cos t\cdot \sin t) ||r'(t)||dt\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \int _0^{\pi} (1+\cos t\cdot \sin t) dt\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \int _0^{\pi} dt +\int_0^\pi\cos t\cdot \sin t\ dt\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow t|_0^\pi +\int_0^\pi\cos t\cdot \sin t\ dt\end{gathered}$

Para resolver a segunda integral, iremos utilizar o método da substituição simples. Chamando então

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int_0^\pi\cos t\cdot \sin t\ dt\ \begin{cases} u\rightarrow \cos t\\ du\rightarrow -\sin t\\ -du\rightarrow \sin t\end{cases}\end{gathered}$

Ficamos então

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow t|_0^\pi +\int_0^\pi\cos t\cdot \sin t\ dt\end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \pi +\int_0^\pi u\cdot -du\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \pi -\int_0^\pi\ u\cdot du\end{gathered}$

Aplicamos agora a propriedade de integração do monômio, dada por

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int x^ndx\Rightarrow \frac{x^{n+1}}{n+1}+k\ ,\ k\in \mathbb{R}\end{gathered} }$

Por fim, temos que

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \pi - \left.\frac{u^2}{2} \right|_0^\pi\end{gathered}$

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \pi - \left.\frac{\cos^2 t}{2} \right|_0^\pi\end{gathered}$

   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds\Rightarrow \pi - \left(\frac{\cos^2 \pi}{2} - \frac{\cos^2 0}{2}\right) \end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \pi - \frac{\cos^2 \pi}{2} + \frac{\cos^2 0}{2} \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \int _C (1+xy) ds \Rightarrow \pi - \cancel{\frac{1}{2} }+ \cancel{\frac{1}{2}}\end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore \boxed{\int _C (1+xy) ds= \pi }\end{gathered}$

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