Question

Bom dia! Por favor estou precisando saber:
Dado um inteiro a, chamamos de valor absoluto de a o numero inteiro designado por |a| e definido por:

|a| = a, se a ≥ 0
−a, se a < 0

Sejam a e b. Provar que:
a) |a| ≥ 0;
b) |a| = 0 se, e somente se, a = 0;
c) −|a| ≤ a ≤ |a|;
d) |ab| = |a||b|;
e) |a + b| ≤ |a| + |b|;
f) ||a| − |b|| ≤ |a − b|.

Grato!

Answer 1

Primeiramente, de acordo com a definição, |a| = |-a| = a ⇒ |a| = √a²
e
|a| = a, se a ≥ 0
−a, se a < 0

a)Hipótese: |a| ≥ 0 

Teremos que analisar 2 casos
a≥0 e a<0

Se x ≥0, com a = x
|x| = x = a, então, a≥0

Se x<0, com a = x
|-x| = -(-x) = x = a, então a>0

logo, ∀x, |a| ≥ 0

b) Hipótese: |a| = 0 se, e somente se, a=0;

|a| = 0, mas, |a| = √a²
√a² = 0
a = +-0 = 0

c)Hipótese: −|a| ≤ a ≤ |a|;

Por tese, temos que |a| ≥ 0, ∀a
logo, a≥ 0 ⇒ |a| ≥ 0
ou
a<0 ⇒ |a| > 0

Análise de casos:

a≥0
a≥ 0 ⇒ |a| ≥ 0, logo
|a| ≥ 0
- |a| ≤ 0
portanto, -|a| ≤ 0 ≤ a e |a|
-|a| ≤ a ≤ |a|  ∀a≥0

Se a≤0 ⇒ |a| ≥ 0
|a| ≥ 0
-|a| ≤ 0 
logo, a ∧ -|a| ≤0≤ |a|
-|a| ≤ a ≤|a| ∀ a≤0

Por consequência, -|a| ≤ a≤ |a| ∀a ∈ R

d) Hipótese: |ab| = |a||b| (sugiro que faça isso para os imaginários também, é  um trabalho algébrico bem divertido hahah)

pela definição, temos que: |a| = √a² e |b| = √b²

|a|.|b| = √a² . √b² = √(ab)² = |ab| 
|a|.|b| = |ab|

e) Hipótese: |a + b| ≤ |a| + |b|
com a ∧ b ≥ 0
|a + b| = a + b, pois convencionamos a e b positivos
|a| + |b| = a + b
, logo, |a| + |b| = |a+b| quando ambos são positivos (ou negativos) 
Com a ≤ 0 ≤ b
|a + b| = +- (a+b) = -a-b ou a + b
|a| + |b| = -(a) + b = -a+b
a+b ≤ -a+b (pois a≤ 0)
-a-b ≤ -a+b
logo, |a+b| ≤ |a| + |b|
portanto, |a| + |b| ≥ |a+b|

f) Hipótese: ||a| - |b|| ≤ |a-b|

Sejam a e b números reais.
Se a e b ≥ 0

||a| - |b|| = |a-b| = |a-b|
logo, ||a|-|b|| = |a-b| quando a e b são positivos/negativos

Se a ≤ 0 ≤ b
||a| - |b|| = |-a-b| (Neste caso, -a ∈ R+ )

|a-b| = |a-b| (Com ambos negativos)
logo, |a-b| ≤ |-a-b|
Portanto, ||a|-|b|| ≤ |a-b|

São demonstrações difíceis de se abstrair, se caso estiver pretendendo usá-las em alguma aula, recomendo o uso da indução e do uso do conceito geométrico do número absoluto  (distância do 0).

Qualquer erro corrigirei prontamente.

Tenha uma boa tarde.