Question

bom dia pode me ajuda eu fiz esse exercício e queria
saber se está certo de acordo com o enunciado
EXERCÍCIOS – CONCEITO DE LI MI TE

Answer 1

Usando o valor para que x tende, simplificação , levantamento de indeterminação e Regra de L' Hopital obtém-se:

O limite é " - 3 "

( anexo 1 )

Ou o limite é " - 5/3 "

( anexo 2 )

Pelo que se entende de seu anexo, precisa determinar  :

$\large \lim_{x \to 0}~ (\dfrac{x^2-9x}{x^2+3x} )$

Sendo limite finito, deve-se substituir na expressão, o valor para que ela tende .

$\large \lim_{x \to 0} (\dfrac{x^2-9x}{x^2+3x} )\\~\\\\=\large \dfrac{0^2-9\cdot 0}{0^2+3\cdot0} \\~\\\\=\large \dfrac{0}{0}$

Que é um símbolo de indeterminação.

Necessário levantar a indeterminação usando manipulações matemáticas.

Indicações auxiliares

Colocar em evidência os fatores comuns

• $x^2-9x=x\cdot x-9\cdot x=x\cdot (x-9)$

• $x^2+3x=x\cdot x +3\cdot x=x\cdot (x+3)$

Fim cálculos auxiliares

$\large \lim_{x \to 0}~ (\dfrac{x\cdot (x-9)}{x\cdot (x+3)} )$      

Para ser possível simplificar a fração, temos que provar que $x\neq 0$ , pois não se pode dividir o numerador e o denominador por o valor zero.

É errado dizer que sim.

Ou provar que a função é contínua na vizinhança de x = 0.

• Há pelo menos dois processos para provar que é possível neste caso fazer essa divisão.

• vou usar o processo geométrico ( ver anexo 1 )

• e a regra de L'Hopital

• função é contínua em ( - ∞ ; 2 )

• pode-se dividir por x o numerador e o denominador

Propriedade

Se a função é contínua no intervalo aonde está o limite para que tende o "x", então:

$\large \lim_{x \to 0}~ (\dfrac{x^2-9x}{x^2+3x} )$

$\large \lim_{x \to 0}~ \dfrac{x-9}{x+3} \\\\~\\=\dfrac{0-9}{0+3} \\~\\=~- 3$

A regra de L'Hopital diz que se existir :

$\lim_{x \to 0} ~~( \dfrac{\dfrac{d}{dx}~~( x^2-9x)}{\dfrac{d}{dx}~~(x^2+3x)})$

então esse limite coincide com o da função original.

Calculando as derivadas :

$\lim_{x \to 0} ~~( \dfrac{2x-9}{2x+3})\\~\\= \dfrac{2\cdot 0-9}{2\cdot0+3}\\~\\=-\dfrac{9}{3} \\~\\=- ~3$

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Leitura alternativa do enunciado

$\large \lim_{x \to 0}~ (\dfrac{x^2-5x}{x^2+3x} )$

$=\dfrac{0^2-5\cdot 0}{0^2+3\cdot 0}\\~\\\\=\dfrac{0}{0}$

Indeterminação

Para levantar indeterminação   $\dfrac{0}{0}$  decompor em fatores o numerador e

denominador.

$\large \lim_{x \to 0}~ (\dfrac{x\cdot (x-5)}{x\cdot (x+3)} )$

• x = 0  está numa parte contínua da função , por isso se pode dividir numerador e denominador da fração por x, que tende para zero mas nunca atinge zero

• vai ter limite finito

$\large \lim_{x \to 0}~ (\dfrac{x-5}{x+3} )\\~\\=\dfrac{0-5}{0+3} \\~\\=-\dfrac{5}{3}$

Pela regra de L' Hopital , usando derivadas de expressões em numerador e denominador.

$\lim_{x \to 0} ~~( \dfrac{\dfrac{d}{dx}~~( x^2-5x)}{\dfrac{d}{dx}~~(x^2+3x)})\\~\\\\=\lim_{x \to 0} ~~(\dfrac{2x-5}{2x+3})\\~\\\\=\dfrac{2\cdot 0-5}{2\cdot 0+3}\\~\\\\=~\boxed{-\dfrac{5}{3}}$

Saber mais sobre limites com Brainly:

https://brainly.com.br/tarefa/53518521?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/33601630?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/31942970?referrer=searchResults

https://brainly.com.br/tarefa/53597156

( nesta última pode consultar regras de derivação )

Bons estudos.

Att     Duarte Morgado    

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$(\cdot)$   multiplicação    ( / )  divisão

 $(\dfrac{d}{dx})$  derivada em ordem a x

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.