Question

Bom dia,

Estou voltando a estudar logaritmos depois de um longo período. Me deparei com o seguinte problema:

"Sejam lg2 e lg4 funções logaritmicas de base 2 e 4, respectivamente. Sabe-se que lg2(x) + lg4(y) = 2 e lg4(x) + lg2(y) = 1. Calcule x + y."

Eu não sei como proceder. Tentei pelo método da adição, mas tive a impressão de estar indo pelo caminho errado. Como devo seguir?


Qualquer ajuda é apreciada.

Muito obrigado!

Answer 1

Dados:
log2(x) + log4(y) = 2   (i)
log4(x) + log2(y) = 1   (ii)

Ao trabalharmos com logaritmos, é interessante que todos estejam na mesma base. Como 4 é múltiplo de 2, vamos optar por passar todos para a base 2. Isso facilitará os cálculos. Para mudar a base usamos a seguinte relação:

loga(b) = logc(b)/logc(a)

Reescrevendo o sistema na base 2:
(i) log2(x) + log2(y)/log2(4) = 2 
log2(x) + log2(y)/2 = 2
2.log2(x) + log2(y) = 4

(ii) log2(x)/log2(4) + log2(y) = 1
log2(x)/2 + log2(y) = 1
log2(x) + 2.log2(y) = 2

Ficamos com:
2.log2(x) + log2(y) = 4   (iii)
log2(x) + 2.log2(y) = 2   (iv)

Multiplicando (iv) por (- 2) e somando com (iii):
2.log2(x) - 2.log2(x) + log2(y) - 4.log2(y) = 4 - 4
- 3.log2(y) = 0
log2(y) = 0
y = 1

Substituindo o y encontrado em (iii):
2.log2(x) + log2(1) = 4
2.log2(x) + 0 = 4
log2(x) = 2
x = 2²
x = 4

Uma vez que a condição de existência da função logarítmica foi contemplada (x > 0 e y > 0), podemos enfim calcular o que se pede:
x + y = 1 + 4 = 5.