Question

Bom dia, estou estudando derivadas e limites e estou com duvida na seguinte questão:
f(x)=lxl, Xo=1

Lembrando que a fórmula da derivada é:
Limite=(x-DeltaX)-f(x)/DeltaX
DeltaX->0
Gostaria da resolução passo a passo.
(50pts guys)

Answer 1

Vamos determinar a derivada da função f(x) = |x| pela definição da derivada.

Como temos uma função modular, podemo reescrever a função como segue:

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} x, & \mbox{se }x \geq 0 \\ -x, & \mbox{se }x\ \textless \ 0 \end{matrix} \right.$

Agora, vamos calcular a derivada da função para x > 0

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)-(x)}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x} =1$

Agora, vamos calcular a derivada da função para x < 0

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-(x+\Delta x)-(-x)}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-x-\Delta x+x}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{\Delta x} =-1$

Agora, vamos calcular a derivada da função para x = 0

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)-0}{\Delta x} =\\\\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}$

Para Δx > 0, temos que:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}=\\\\\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$

E, para Δx < 0, temos que:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}=\\\\\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$

Portanto, os limites laterais existem mas são diferentes, logo a função não é diferenciável quando x = 0.

Assim, concluímos que:

$f'(x) = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{se }x \ \textgreater \ 0 \\ -1, & \mbox{se }x\ \textless \ 0 \end{matrix} \right.$

e para x = 0, temos que a derivada de f(x) não existe.

Podemos ainda definir a derivada acima como:

$f'(x)=\frac{|x|}{x}$

Note que para a fórmula da derivada acima, as definições que descobrimos são válidas.