Question

Bom dia! desculpa pesso ajuda no exercicio seguinte. se XY= 2 e X^2 + Y^2 = 5 então X^2/Y^2 + Y^2/X^2 + 2 é igual a: a) 5/2 b) 25/4 c) 5/4 d) 1/2

Answer 1

Organizando as equações temos:

xy = 2
x² + y² = 5

E nos queremos descobrir o valor de:

$\frac{ x^{2} }{ y^{2} } + \frac{ y^{2} }{ x^{2} } + 2 = ?$

Percebe-se que xy = 2, e como aparece um dois na equação nos podemos reescreve-la da seguinte forma:

$\frac{ x^{2} }{ y^{2} } + \frac{ y^{2} }{ x^{2} } + xy = ?$

Deixando todos com mesmo denominador:

$\frac{ x^{4} }{ x^{2} y^{2} } + \frac{ y^{4} }{ x^{2} y^{2} } } + \frac{ x^{3} y^{3} }{ x^{2} y^{2} } = ?$

Tem-se pela primeira equação que:

xy = 2

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

(xy)² = 2²
x²y² = 4
 
Eleavando a 3 temos:

(xy)³ = 2³
x³y³ = 8

E pela segunda equação, elando ao quadrado temos:

(x² + y²)² = 5²
$x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} = 25$
$x^{4 } + 8 + y^{4} = 25$
$x^{4} + y^{4} = 17$

Substituindo os valores na equação principal temos:

$\frac{ x^{4} }{ 4 } + \frac{ y^{4} }{ 4 } } + \frac{ 8 }{ 4 } = ?$
$\frac{17 + 8}{4} = \frac{25}{4}$

Resposta: letra B