Question

Bom Dia, Alguém pode me ajudar nessa questão?

Answer 1

Resposta:

A)

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente, note que x é positivo, pois é a soma de duas raízes quadradas. Vejamos quanto vale $x^2$:

$x^2 = \left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)^2 + 2\left(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right) + \left(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\right)^2$

Logo,

$x^2 = 7+4\sqrt{3} + 2\sqrt{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} + 7 - 4\sqrt{3} = 14 + 2\sqrt{7^2 - (4\sqrt{3})^2} = 14 + 2\sqrt{49-4^2\times 3} = 14+2\sqrt{49-16\times 3}$

Segue que

$x^2 = 14 + 2\sqrt{49-48} = 14 + 2\sqrt{1} = 16$

Como já determinamos que x é positivo, segue da última igualdade que

$x = \sqrt{16} = 4$

e, portanto, inteiro.