Question

Boa tarde, uma questão de limite
lim 3x^3 - 12x^2 + 12x
________________
x^3 - 3x^2 + 4

com x --> 2

Answer 1

Sabemos que o valor de x tende a 2, ou seja, x ≈ 1,99999... ou x ≈ 2,00...1
(dependendo de que lado tomamos como referência)*
Numa linguagem grotesca, o valor de x está infinitamente próximo de 2, então se substituirmos o valor de x por 2, a diferença entre os resultados pela aproximação também seria infinitamente pequena.
Vamos lá!
Para x "igual" a 2:

$\lim_{x \to \} 2 = \frac{3 x^{3} - 12x^{2} + 12x }{ x^{3} - 3^{2} + 4}$ = 24 - 48 + 24 / 12 - 12 = 0/0
Zero sobre zero não pode ser um ponto representado no plano cartesiano, pois ele não existe. Chamamos esse caso de Indeterminação.
Para resolver essa situação podemos fatorar, agrupar, simplificar ... existem várias formas de alterar a estrutura dessa equação racional mantendo a integridade do seu limite.
Escolhi a regra de L'Hopital para esta situação. Esta regra diz que podemos derivar as expressões até que elas saiam da indeterminação. Ou seja, se f(x)/g(x) = 0/0, f'(x)/g'(x) pode sair da indeterminação. Se a primeira derivada não resolver, podemos fazer uma segunda derivação, uma terceira, quantas forem necessárias.
Nesse caso, teremos que derivar duas vezes para sair da indeterminação. A equação fica da seguinte forma:

$\lim_{x \to \}2 = f''(x) = \frac{18x - 24}{6x-6}$
Substituindo x por 2 temos que : 

18 ( 2 ) - 24 / 6 ( 2 ) - 6 = 12 / 6 = 2


Ou seja, x tendendo a 2 pela direita, o limite é de ≈ 2,000...1 e pela esquerda é de ≈ 1,999...

Espero ter ajudado! Bons estudos ;)