Boa tarde!
Por favor peço a ajuda de vocês pois tentei varias vezes e não consegui chegar na resposta que é raiz de 5/3
Sendo i a unidade imaginária e Z o conjugado de um número complexo z, o módulo do número
complexo z que satisfaz a igualdade (4 - i) . Z = 2 - 3i é igual a
Soluções para a tarefa
O módulo do número complexo z que satisfaz a igualdade é igual a √221/17.
Seja o número z = a + bi, temos que o conjugado de z será Z = a - bi, logo:
(4 - i).Z = 2 - 3i
Z = (2 - 3i)/(4 - i)
Multiplicando o numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Z = (2 - 3i)(4 + i)/(4 - i)(4 + i)
Z = (8 + 2i - 12i - 3i²)/17
Z = (11 - 10i)/17
Se Z = (11 - 10i)/17, então z = (11 + 10i)/17, o módulo desse número é:
|z|² = (11/17)² + (10/17)²
|z|² = (11² + 10²)/17²
|z| = √221/17
Resposta:
Esta é uma pergunta do SENAI cujo resultado é √5/3
Lembre-se de que i² = -1
Primeiro vamos organizar a equação:
(4-i) . Z = 2 -3i
Z = 2 -3i / (4-i)
Segundo vamos multiplicar pelo denominador com sinal invertido:
Z = 2 -3i / (4-i) . (4+i) / (4+i)
Z = (8 + 2i - 12i - 3i²)/16+i²
Observe a troca do i²
Z = (8 + 2i - 12i - 3 .-1/16-1
Z = 11-10i/15
Portanto Z = 11/15 - 10i/15
Terceiro, ao calcular o módulo, é que nem o teorema de Pitágoras:
/Z/² = 11/15² - 10i/15²
Observe que temos o i² ali, então:
/Z/² = 121/225 - 100 -1/225
/Z/² = 121/225 - 99/225
/Z/² = 220/225
/Z/ = √220/√225
/Z/ = √2³.5 / 15
/Z/ = √2².2.5 / 15
/Z/ = √2.5 / 15
/Z/ = √10/15
Simplificando, temos
/Z/ = √5/3
Você esqueceu de que i² = -1
Em Z = (8 + 2i - 12i - 3i²)/17 que você colocou, não é 17
É Z = (8 + 2i - 12i - 3i²)/16+i²
Que fica Z = (8 + 2i - 12i - 3 .-1/16-1
E depois Z = 11-10i/15
Finalmente temos Z = 11/15 - 10i/15
Ao calcular o módulo, temos Z² = 11/15² - 10i/15²
Observe que temos o i² ali, então também haverá substituição.