Question

Boa tarde, gostaria de saber se alguém poderia me mostrar a resolução das letras b e d. Chego até a metade e não consigo concluir o exercício. Obrigada!

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

B) O resultado vale para n = 4, pois

$2^4 = 16 < 24 = 4! = \prod_{j=1}^{4} j$

Suponha agora que o resultado é verdadeiro para $n = k\geq 4$. Provaremos que o resultado é verdadeiro para n = k+1.

$2^{k+1} = 2\times 2^k < 2\times k! < (k+1) \times k! = (k+1)!$,

sendo que a última desigualdade decorre de $k+1>k\geq 4 > 2$.

Segue do princípio de indução que o a desigualdade B) vale para todo número natural $n\geq 4$.

D) O resultado vale para n = 2, pois

$\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2\times 2} = \frac{1}{3}+\frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12} = \frac{14}{24} > \frac{13}{24}$

Suponha agora que o resultado é verdadeiro para $n = k>1$. Provaremos que o resultado é verdadeiro para n = k+1.

Temos que

$\frac{1}{(k+1)+1}+\frac{1}{(k+1)+2}+\dots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2(k+1)}$          (1)

Note que

$\frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{k+1} - \frac{1}{2(k+1)}$         (2)

e que, por (2),

$\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)} = \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2(k+1)} + \frac{1}{k+1} = \frac{2(k+1)-(2k+1)}{(2k+1)2(k+1)} + \frac{1}{k+1} = \frac{1}{(2k+1)2(k+1)} + \frac{1}{k+1} > \frac{1}{k+1}$     (3)

A última desigualdade é verdadeira pois, $\frac{1}{(2k+1)2(k+1)}$ é um número positivo.

Comparando (3) com (1), segue que

$\frac{1}{(k+1)+1}+\frac{1}{(k+1)+2}+\dots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2k+1} + \frac{1}{2(k+1)} > \frac{1}{(k+1)+1}+\frac{1}{(k+1)+2}+\dots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{k+1} = \frac{1}{k+1} + \frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\dots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24},$

sendo que a última desigualdade decorre da hipótese de indução, onde supomos que o resultado para para n=k.

Logo, pelo princípio de indução, o resultado vale para todo número natural n>1.