Question

Boa tarde!
Gostaria de saber essas questões:
1) d^2y/dx^2+3dy/dx-4y=0
2) d^2y/dx^2+4dy/dx+13y=0
3) y"+2y'-3y=0; y(0)=1; y'(0)=9
4) y"+6y'+9y=0; y(0)=2; y'(0)=-5

Answer 1

Todas são equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, linerares e homogêneas.


1) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+3\,\dfrac{dy}{dx}-4y=0$

Encontrando as raízes do polinômio característico:

$r^{2}+3r-4=0\\ \\ r^{2}+4r-r-4=0\\ \\ r\left(r+4 \right )-1\left(r+4 \right )=0\\ \\ \left(r+4 \right )\left(r-1 \right )=0\\ \\ r_{1}=-4\;\;\text{ e }\;\;r_{2}=1$


Como temos duas raízes reais e distintas, a solução para a equação homogênea é

$y=A_{1}e^{r_{1}x}+A_{2}e^{r_{2}x}\\ \\ y=A_{1}e^{-4x}+A_{2}e^{x}$

onde $A_{1}$ e $A_{2}$ são constantes reais.


2) $\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}+4\,\dfrac{dy}{dx}+13y=0$

Encontrando as raízes do polinômio característico:

$r^{2}+4r+13=0\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot 13\\ \\ \Delta=16-52\\ \\ \Delta=-36=\left(-1 \right )\cdot 6^{2}\\ \\ \\ r=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\ \\ r=\dfrac{-4\pm \sqrt{\left(-1 \right )\cdot 6^{2}}}{2\cdot 1}\\ \\ r=\dfrac{-4\pm 6i}{2}\\ \\ r=\dfrac{2\left(-2 \pm 3i \right )}{2}\\ \\ r=-2 \pm 3i\\ \\ r_{1}=-2+3i\;\;\text{ e }\;\;r_{2}=-2-3i$

Como temos duas raízes complexas conjugadas,

$r=\alpha \pm \beta i$

a solução para a equação homogênea é

$y=A_{1}e^{\alpha x}\cdot \cos\left(\beta x \right)+A_{2}e^{\alpha x}\cdot \mathrm{sen}\left(\beta x \right )\\ \\ y=A_{1}e^{-2x}\cdot \cos\left(3x \right)+A_{2}e^{-2x}\cdot \mathrm{sen}\left(3x \right )$


3) $y''+2y'-3y=0;\;\;y(0)=1,\,y'(0)=9$

Encontrando as raízes do polinômio característico:

$r^{2}+2r-3=0\\ \\ r^{2}+3r-r-3=0\\ \\ r\left(r+3 \right )-1\left(r+3 \right )=0\\ \\ \left(r+3 \right )\left(r-1 \right )=0\\ \\ r_{1}=-3\;\;\text{ e }\;\;r_{2}=1$


Como temos raízes reais e distintas, a solução da homogênea é

$y=A_{1}e^{-3x}+A_{2}e^{x}$


Dadas as condições, encontrar as constantes $A_{1}$ e $A_{2}$:

Derivando a solução encontrada, temos

$y'=-3A_{1}e^{-3x}+A_{2}e^{x}$


$\bullet\;\; y(0)=1\\ \\ A_{1}e^{-3\cdot 0}+A_{2}e^{0}=1\\ \\ A_{1}+A_{2}=1\\ \\ \\ \bullet\;\; y'(0)=9\\ \\ -3A_{1}e^{-3\cdot 0}+A_{2}e^{0}=1\\ \\ -3A_{1}+A_{2}=9$


Resolvendo o sistema formado pelas equações:

$\left\{ \begin{array}{r} A_{1}+A_{2}=1\\ -3A_{1}+A_{2}=9 \end{array} \right.$

encontramos $A_{1}=-2\;\;\text{ e }\;\;A_{2}=3$


Enfim, chegamos a

$y=-2e^{-3x}+3e^{x}$


4) $y''+6y'+9y=0;\;\;y(0)=2,\;y'(0)=-5$

Encontrando as raízes do polinômio característico:

$r^{2}+6r+9=0\\ \\ \left(r+3 \right )^{2}=0\\ \\ r_{1}=r_{2}=-3$


Como temos raízes reais e iguais, a solução da homogênea é

$y=A_{1}e^{rx}+A_{2}xe^{rx}\\ \\ y=A_{1}e^{-3x}+A_{2}xe^{-3x}$


Dadas as condições, encontrar as constantes $A_{1}$ e $A_{2}$:

Derivando a solução encontrada, temos

$y'=-3A_{1}e^{-3x}+A_{2}e^{-3x}-3A_{2}xe^{-3x}$


$\bullet\;\; y(0)=2\\ \\ A_{1}e^{-3\cdot 0}+A_{2}\cdot 0\cdot e^{-3\cdot 0}=2\\ \\ A_{1}=2\\ \\ \\ \bullet\;\; y'(0)=-5\\ \\ -3A_{1}e^{-3\cdot 0}+A_{2}e^{-3\cdot 0}-3A_{2}\cdot 0 \cdot e^{-3\cdot 0}=-5\\ \\ -3\cdot 2e^{0}+A_{2}=-5\\ \\ A_{2}=-5+6\\ \\ A_{2}=1$


Logo, a solução é

$y=2e^{-3x}+xe^{-3x}$