Question

Boa tarde,
Gostaria de ajuda para determinar a equação da reta tangente no ponto (2,2) a esta curva:

$\frac{c^{x}}{x} + \frac{c^{y}}{y} = 1$


Obrigado.

Answer 1

Utilizando derivadas implicitas e formulações de reta tangente, temos que a reta tangente neste ponto é dada por :

$y=-x+4$

Explicação passo-a-passo:

Antes de qualquer explicação, vamos derivar esta função explicitamente, pois iremos precisar muito desta derivada:

$\frac{e^{x}}{x}+\frac{e^{y}}{y}=1$

Derivando implicitamente:

$\frac{e^{x}.x-e^{x}}{x^2}.dx+\frac{e^{y}.y-e^{y}}{y^2}dy=0$

Colocando as exponenciais em evidência:

$\frac{e^{x}(x-1)}{x^2}.dx+\frac{e^{y}(y-1)}{y^2}dy=0$

$\frac{e^{y}(y-1)}{y^2}dy=-\frac{e^{x}(x-1)}{x^2}.dx$

Passando o dx para o outro lado dividindo:

$\frac{e^{y}(y-1)}{y^2}\frac{dy}{dx}=-\frac{e^{x}(x-1)}{x^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{e^{x}(x-1)}{x^2}{\frac{e^{y}(y-1)}{y^2}}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{e^{x}(x-1)y^2}{\frac{e^{y}(y-1)x^2}$

Agora já temos a derivada dy/dx, que é o que precisamos, pois a derivada de uma função nos diz a inclinação desta função em cada ponto, e como a equação da reta é dada por:

$y=Ax+B$

Onde A é exatamente a inclinação da reta, se substituirmos os valores de x e y na derivada (x e y no ponto que queremos são 2 e 2, pelo ponto dado) teremos o valor de A da reta:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{e^{x}(x-1)y^2}{\frac{e^{y}(y-1)x^2}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{e^{2}(2-1)2^2}{\frac{e^{2}(2-1)2^2}$

$\frac{dy}{dx}=-1$

Assim temos que nossa reta tangente tem A=-1, ou seja:

$y=-x+B$

Falta descobrir o valor de B, para isto, bata substituirmos o ponto (2,2) novamente na equação da reta:

$y=-x+B$

$2=-2+B$

$B=4$

Então temos que a reta tangente neste ponto é dada por :

$y=-x+4$