Question

Boa tarde galera ! Me ajudem em Calculo 2... Integração por partes!

preciso da resolução das 4 questoes ! :)

Answer 1

O Macete do Teorema é o seguinte:

Primeiro Termo · Integral do Segundo Termo - ∫ Repetir a Integral do Segundo Termo · Derivada do Primeiro Termo dx

a)
$\displaystyle\int xe^{-x}dx \\ \\ -xe^{-x}+\displaystyle\int e^{-x}dx \\ \\ -xe^{-x}-e^{-x} \\ \\ \boxed{-e^{-x}(x+1)+c}$

b)
$\displaystyle\int x^{2}e^{x}dx \\ \\ \boxed{1} x^{2}e^{x}-\displaystyle\int 2xe^{x}dx \\ \\ \boxed{2}\displaystyle\int 2xe^{x}dx \\ \\ 2\displaystyle\int xe^{x}dx \\ \\ 2(xe^{x}-\displaystyle\int e^{x}dx) \\ \\ 2(xe^{x}-e^{x}) \\ \\ 2xe^{x}-2e^{x} \\ \\ \boxed{1}\boxed{2} \\ \\ x^{2}e^{x}-(2xe^{x}-2e^{x}) \\ \\ x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x} \\ \\ \boxed{e^{x}(x^{2}-2x+2)+c}$

c)
$\displaystyle\int x \cos(\frac{1}{2}x)dx \\ \\ x2\sin ( \frac{1}{2}x )-\displaystyle\int 2 \sin ( \frac{1}{2}x )dx \\ \\ \boxed{2x \sin ( \frac{1}{2}x )+4 \cos( \frac{1}{2}x)+c}$

d)
$\displaystyle\int x \sin(2x)dx \\ \\ -x \frac{1}{2} \cos(2x)+\displaystyle\int \frac{1}{2} \cos(2x)dx \\ \\ \boxed{-\frac{1}{2}x \cos(2x)+\frac{1}{4} \sin(2x)+c}$

Letra D:

$\displaystyle\int x^{2} \sin(x^{3})dx \\ \\ x^{2}\displaystyle\int \sin(x^{3})dx \\ \\ u=x^{3} \\ \\ du=3x^{2}dx \\ \\ \frac{x^{2}}{3x^{2}}\displaystyle\int \sin(u)du \\ \\ -\frac{1}{3} \cos(u)+c \\ \\ \boxed{-\frac{1}{3} \cos(x^{3})+c}$