Boa tarde, alguém saberia resolver esses dois exercícios? Não estou conseguindo.
Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que:
a) 1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + ··· + n(n + 2) = n(n + 1)(2n + 7) / 6
obs: (o número 6 está dividindo n(n + 1)(2n + 7))
b) n3 − n é divisível por 3 para todo número natural n ≥ 2.
Obrigada.
Soluções para a tarefa
As demonstrações de que , ∀ n ∈ IN, n ≥ 1 e de que n³ - n é divisível por 3, ∀ n ∈ IN, n ≥ 2 estão abaixo.
a) P[n] é , ∀ n ∈ IN, n ≥ 1.
Quando n = 1, tem-se que 1(1 + 2) = 3 e .
Portanto, P[1] é válida.
Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário fixado, n ≥ 1. Ou seja, suponha que vale . Deve-se provar que , isto é, que P[n + 1] é verdade:
Portanto, P[n + 1] é válida. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ∈ IN, n ≥ 1, P[n] ⇒ P[n+1].
Logo, pelas etapas acima e pelo Princípio da Indução Matemática, tem-se que P[n] é válida para todo natural n, n ≥ 1.
b) P[n] é n³ - n é divisível por 3, ∀ n ∈ IN, n ≥ 2.
Quando n = 2, tem-se que 2³ - 2 = 6 e 6 é divisível por 3.
Portanto, P[1] é válida.
Hipótese de Indução: Suponha que P[n] é válida para um natural n arbitrário, n ≥ 2. Ou seja, suponha que vale n³ - n é divisível por 3. Deve-se provar que (n + 1)³ - (n + 1) é divisível por 3, isto é, que P[n + 1] é verdade:
(n + 1)³ - (n + 1) = n³ + 3n² + 3n + 1 - n - 1 = n³ + 3n² + 2n = n³ - n + 3n + 3n² = (n³ - n) + 3(n + n²)
Pela hipótese, n³ - n é divisível por 3. Temos também que 3(n + n²) também é divisível por 3.
Portanto, P[n + 1] é válida. Como o natural n inicial era arbitrário, provou-se então que para todo n ≥ 2, P[n] ⇒ P[n+1].
Logo, pelas etapas acima e pelo Princípio da Indução Matemática, tem-se que P[n] é válida para todo natural n, n ≥ 2.