Question

Boa tarde!!
Alguém pode responder esta questão?
Uma importante aplicação do estudo das derivadas é a que se refere ao crescimento e decrescimento de uma função. Considerando esses conceitos e a função polinomial f(x) = x3 + 5x² + 3, analise os itens que seguem:
I. A função é crescente nos intervalos x < –3,33 e x > 0;
II. A função é decrescente no intervalo –3,33 < x < 0;
III. A função é decrescente nos intervalos x < –3,33 e x > 0;
IV. A função é crescente no intervalo –3,33 < x < 0;
V. A função é constante no intervalo –3,33 < x < 0.
Assinale a alternativa que apresenta apenas itens corretos:
Alternativas:
a) I e II
b) I e IV
c) I e V
d) III e IV
e) III e V

Answer 1

Se derivarmos a função f(x) = x³ + 5x² + 3 obteremos t(x) = 3x² + 10x
Ou seja, teremos a tangente do gráfico no ponto x da equação.

Analisando a função de segundo grau 3x² + 10x podemos ver onde é positivo e onde é negativo por meio do varal de sinais.

a > 0, concavidade voltada para cima.

Vamos achar as raízes agora.

3x² + 10x = 0

Quando c = 0 uma das raízes é igual a 0.

x.(3x + 10) = 0

3x + 10 = 0
3x = -10
x = -10/3

As raízes são então -10/3 e 0. Sabemos então que no intervalo -10/3 < x < 0 a tangente será negativa e que x < -10/3 ou x > 0 a tangente será positiva.

Vamos analisar a afirmação I:

Crescente para t(x) < t(-10/3) e t(x) > t(0)

Afirmação verdadeira, visto que t(-10/3) e t(0) está compreendido em -10/3 < x < 0 que é negativo. Logo, se não estiver nesse intervalo é positiva e consequentemente, crescente.

II:

Decrescente no intervalo t(-10/3) < x < t(0)

Verdadeira, como visto antes esse é o intervalo negativo da equação que nos dá a tangente.

III: 

Decrescente quando t(x) < t(-10/3) e t(x) > 0

Falso, como visto antes esse é o intervalo positivo da equação que nos dá a tangente.

IV:

Crescente no intervalo t(-10/3) < x < t(0), falso, é o intervalo decrescente.

V:

A equação não é constante em nenhum intervalo pois se trata de uma função de segundo grau.

Alternativa a